Радиусы двух концентрических окружностей, относятся как 2:5. Найдите радиусы этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 15 см.

Основания - правильные треугольники. О₁ - центр верхнего основания (точка пересечения медиан (биссектрис, высот)), О - центр нижнего основания.

Пусть Н - середина В₁С₁, тогда О₁Н - радиус окружности, вписанной в треугольник А₁В₁С₁.

  О₁Н = а√3/6 = 6√3/6 = √3 см

Пусть К - середина ВС, тогда ОК - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:

   ОК = 12√3/6 = 2√3 см.

ОО₁ - высота пирамиды, тогда

ОО₁⊥ВС и АК⊥ВС, т.е. ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости АКН, значит

ВС⊥(АКН)

Тогда ВС⊥КН, ∠НКА = 30° и НК - апофема пирамиды.

Sбок = (P₁ + P₂) · HK, где P₁ и P₂ - периметры оснований.

Осталось найти НК.

ОО₁НК - прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту НТ.

ОО₁НТ - прямоугольник, ОТ = О₁Н = √3 см

ТК = ОК - ОТ = 2√3 - √3 = √3 см

ΔНТК:    cos 30° = TK / HK

               HK = TK / cos 30° = √3 / (√3/2) = 2 см

Sбок = (P₁ + P₂) · HK = (6 ·3 + 12 · 3) · 2 = (18 + 36) · 2 = 54 · 2 = 108 см²

Сечение будет определено 4 точками на рёбрах параллелепипеда. четвёртая точка е будет лежать на ребре а1в1, причем а1е = ев1 сечение определено сторонами: fd. dc1. c1e. ef по т. пифагора fd^2 = af^2 + ad^2 = 2^2 + 2^2 = 8 fd = 2√2 dc1^2 = dc^2 + cc1^2 = 2^2 + 4^2 = 20 dc1 = 2√5 а1е = ев1 так как угол сечения плоскости таков, что проходит через диагональ боковой стороны dd1c1c, а значит с середины ребра aa1 он попадает на середину a1b1 c1e^2 = b1c1^2 + eb1^2 = 2^2 + 1 = 5 c1e = √5 ef^2 = a1e^2 + a1f^2 = 1 + 1 = 2 ef = √2 p fdc1e = fd+ dc1+ c1e+ ef= 2√2 + 2√5 + √5 + √2 = 3√2+3√5 = 3(√2+√5)