Расстояние от точек А и В до прямой DE одинаковые. АВ пересекает DE в точке С. Докажи, что: треугольники АЕС и BDC равны; С является серединой отрезка DE.
Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,
AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси
Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.
Тоді у рівнобічній трапеції:
HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.
Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:
P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.
Відповідь: 48 см – В.
Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 450.
Визначити площу трапеції.
Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції
У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).
Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).
Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.
У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.
Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).
Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.
Знайдемо площу прямокутної трапеції:
Цю площу можна було знайти в легший б, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2
Відповідь: 3/2•a^2 – Д.
Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.
Знайти основу BC, якщо AD=14 см.
Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.
Розглянемо трикутники AOD і COB.
В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто
звідси
Отже, BC=7 см – основа трапеції.
Відповідь: 7 см – В.
Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.
Знайдіть площу трапеції.
Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд
Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:
AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).
Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто
звідси
Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).
В этом тригонометрическом нагромождении мы видим 10 прямоугольных треугольников. Для нахождения гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника, необходимо, идя снизу, применять формулу соотношения катета и гипотенузы (гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла - или: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла), а также в паре случаев теорему Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы).
Значения косинусов берём из таблицы Брадиса.
1) Находим гипотенузу нижнего (зелёного) треугольника. Нужно длину катета (8 см) разделить на cos 28° (0,8829). Она равна ≈ 9,06 (округляем до двух цифр после запятой, так как вверху два значения даны с двумя цифрами после запятой)
2) 9,06 + 3,6 - 2,5 = 10,16 см - это длина гипотенузы второго снизу (бледно-жёлтого) треугольника. Нам нужно найти верхний его катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
10,16* cos 11° = 10,16* 0,9816 ≈ 9,97 см
3) 9,97 + 2,9 - 2 = 10,87 см - это длина гипотенузы третьего снизу треугольника. По теореме Пифагора находим верхний катет.
10,87^2 - 3,8^2 = 118,1569 - 14,44 = 103,7169
√103,7169 ≈ 10,18 см
4) 10,18 + 3,2 - 1 = 12,38 см это длина гипотенузы четвёртого снизу (голубого) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 12,38*cos 43° = 12,38*0,7314 ≈ 9,05 см
6) 10,45 + 3,2 + 1,9 = 15,55 см - это длина гипотенузы шестого снизу (светло-зелёного) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,55*cos 19° = 15,55*0,9455 ≈ 14,70 см
7) 14,70 - 4,4 - 1,1 = 8,8 см - это длина нижнего катета седьмого снизу (жёлтого) треугольника. Находим гипотенузу жёлтого треугольника.
Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 8,8:cos 46° = 8,8:0,6947 ≈ 12,67 см
8) 12,67 + 1,7 = 14,37 см - это длина бо́льшего катета восьмого снизу/третьего сверху (светло-фиолетового) треугольника. По теореме Пифагора находим гипотенузу этого треугольника.
3,2^2 + 14,37^2 = 10,24 + 206,44969 = 216,7369
√216,7369 ≈ 14,72 см
9) 14,72 - 2,73 = 11,99 см - это длина гипотенузы второго сверху (светлого) треугольника. Находим его бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
11,99*cos 22° = 11,99*0,9272 ≈ 11,12 см
10) 11,12 см +6,9 - 2,24 = 15,78 см - это длина бо́льшего катета самого верхнего (фиолетового) треугольника.
Находим гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника. Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,78:cos 4° = 15,78:0,9976 ≈ 15,82 см
Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,
AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси
Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.
Тоді у рівнобічній трапеції:
HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.
Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:
P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.
Відповідь: 48 см – В.
Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 450.
Визначити площу трапеції.
Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції
У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).
Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).
Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.
У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.
Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).
Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.
Знайдемо площу прямокутної трапеції:
Цю площу можна було знайти в легший б, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2
Відповідь: 3/2•a^2 – Д.
Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.
Знайти основу BC, якщо AD=14 см.
Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.
Розглянемо трикутники AOD і COB.
В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто
звідси
Отже, BC=7 см – основа трапеції.
Відповідь: 7 см – В.
Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.
Знайдіть площу трапеції.
Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд
Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:
AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).
Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто
звідси
Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).
Отже, MN=MO+ON=5+6=11 см.
Знайдемо площу трапеції:
Відповідь: 242 см2 – Г.
15,82 см
Объяснение:
В этом тригонометрическом нагромождении мы видим 10 прямоугольных треугольников. Для нахождения гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника, необходимо, идя снизу, применять формулу соотношения катета и гипотенузы (гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла - или: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла), а также в паре случаев теорему Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы).
Значения косинусов берём из таблицы Брадиса.
1) Находим гипотенузу нижнего (зелёного) треугольника. Нужно длину катета (8 см) разделить на cos 28° (0,8829). Она равна ≈ 9,06 (округляем до двух цифр после запятой, так как вверху два значения даны с двумя цифрами после запятой)
2) 9,06 + 3,6 - 2,5 = 10,16 см - это длина гипотенузы второго снизу (бледно-жёлтого) треугольника. Нам нужно найти верхний его катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
10,16* cos 11° = 10,16* 0,9816 ≈ 9,97 см
3) 9,97 + 2,9 - 2 = 10,87 см - это длина гипотенузы третьего снизу треугольника. По теореме Пифагора находим верхний катет.
10,87^2 - 3,8^2 = 118,1569 - 14,44 = 103,7169
√103,7169 ≈ 10,18 см
4) 10,18 + 3,2 - 1 = 12,38 см это длина гипотенузы четвёртого снизу (голубого) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 12,38*cos 43° = 12,38*0,7314 ≈ 9,05 см
5) Больший катет пятого снизу (розового) треугольника равен бо́льшему катету голубого треугольника. (9,05 +1-1 = 9,05 см). Находим гипотенузу розового треугольника. 9,05:cos 30° = 9,05:0,8660 ≈ 10,45 см.
6) 10,45 + 3,2 + 1,9 = 15,55 см - это длина гипотенузы шестого снизу (светло-зелёного) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,55*cos 19° = 15,55*0,9455 ≈ 14,70 см
7) 14,70 - 4,4 - 1,1 = 8,8 см - это длина нижнего катета седьмого снизу (жёлтого) треугольника. Находим гипотенузу жёлтого треугольника.
Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 8,8:cos 46° = 8,8:0,6947 ≈ 12,67 см
8) 12,67 + 1,7 = 14,37 см - это длина бо́льшего катета восьмого снизу/третьего сверху (светло-фиолетового) треугольника. По теореме Пифагора находим гипотенузу этого треугольника.
3,2^2 + 14,37^2 = 10,24 + 206,44969 = 216,7369
√216,7369 ≈ 14,72 см
9) 14,72 - 2,73 = 11,99 см - это длина гипотенузы второго сверху (светлого) треугольника. Находим его бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
11,99*cos 22° = 11,99*0,9272 ≈ 11,12 см
10) 11,12 см +6,9 - 2,24 = 15,78 см - это длина бо́льшего катета самого верхнего (фиолетового) треугольника.
Находим гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника. Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,78:cos 4° = 15,78:0,9976 ≈ 15,82 см