Равнобедренный прямоугольный треугольник авс с катетом ас=4 и прямым углом с повернули на 90° против часовой стрелки вокруг вершины в и получили треугольник а1вс1 ( точка а1 - образ а). найдите аа1 и са1.​

построим прямую OA от точки O до прямой MH так что угол OAM = 90 градусов,

это и есть расстояние от точки O до прямой MН

 

Треугольники MOA и MOK равны это следует из следующего :

1 в треуг ОАМ угол OAM = 90 гр

   в треуг OMK угол OKM = 90 гр

2 угол АMO = углу KMO (биссектриса угла)

3 сторона треугольника MO общая для обоих треугольников

4 также угол MOA и угол MOK в обоих треуг. равны, поскольку

   сумма углов в треуг. = 180 гр. ( вычитая 180 - 90 гр - известный угол)

Этих условий достаточно чтобы сделать вывод, что треугольники равны.

 

Следовательно OK = OA = 9

 

ответ 9

Центр О вписанной окружности  равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
Проведем радиусы в точки касания вписанной окружности с катетами. Они перпендикулярны касательным (катетам) в точках касания М и Р. Проведем биссектрису ВК угла В, которая проходит через центр вписанной окружности О. СРОМ - квадрат. ОР=ОМ=СМ=4.Тогда из подобия треугольников ОМВ и КРО имеем: ВМ/ОР=ОМ/КР или 8/4=4/КР, откуда КР=16/8=2. Тогда КС=КР+РС=2+4=6. Тангенс угла КВС равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть КС/СВ=6/12=1/2. В тригонометрии есть формула: Tg2α=2tgα/(1-tg²α). В нашем случае tg2α=1/(3/4)=4/3. Угол В треугольника равен 2α, так как ВК - биссектриса. В треугольнике АВС tgB = AC/СВ, отсюда АС=СВ*tgα = 12*(4/3)=16.
Тогда АК=АС-КС=16-6=10.
ответ: АК=10.