В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами, а медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Значит расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины треугольникаМедианы треугольника в точке пересечения делятся в пропорции 2:1Поскольку в равностороннем треугольнике высоты являются одновременно и медианами, то расстояние от точки пересечения до стороны является, как отрезком высоты, так и отрезком медианы, то есть составляет 1 часть, а расстояние до вершины - 2 части. Что и требовалось доказать.
Ну да, сложнейшая задача :((( Углы ODB и OFB прямые, поэтому можно построить окружность на OB, как на диаметре, и при этом точки D и F лежат на этой окружности. То есть четырехугольник ODFB - вписанный в окружность. Дальше, из прямоугольного треугольника AOB угол ABO = 90° - угол CAB; поэтому угол CBO = 90° - угол CAB - угол CBA; из прямоугольного треугольника ODB угол DOB = 90° - угол CBO; угол DOB = угол CAB + угол CBA; поскольку ODFB можно вписать в окружность, сумма углов DFB и DOB равна 180°; То есть угол DFB = 180° - (угол CAB + угол CBA) = угол ACB; чтд.
PS. для любителей точных и минимальных решений - с углами можно разобраться на много проще. Вот так: угол DOF = угол CBA, так как их стороны перпендикулярны (попарно). По той же причине угол FOB = угол CAB. То есть угол DOB = угол CAB + угол CBA;
PPS. угол DOF = угол CBA это так же сразу видно из того, что эти вписанные углы опираются на одну дугу DF построенной окружности. На самом деле и для второй пары углов тоже есть возможность доказать равенство угол FOB = угол CAB, через дуги построенной окружности - дело в том, что AO - касательная к этой окружности, и угол AOF измеряется половиной дуги OF, так же как и угол OBA, а каждый из этих углов дополняет угол из пары (угол FOB и угол CAB) до 90°. То есть угол OBA = угол AOF; а угол FOB = 90° - угол OBA; угол CAB = 90° - угол AOF; => угол FOB = угол CAB; Но это уже больше - для развлечения :)))
Углы ODB и OFB прямые, поэтому можно построить окружность на OB, как на диаметре, и при этом точки D и F лежат на этой окружности. То есть четырехугольник ODFB - вписанный в окружность.
Дальше, из прямоугольного треугольника AOB угол ABO = 90° - угол CAB;
поэтому угол CBO = 90° - угол CAB - угол CBA;
из прямоугольного треугольника ODB угол DOB = 90° - угол CBO;
угол DOB = угол CAB + угол CBA;
поскольку ODFB можно вписать в окружность, сумма углов DFB и DOB равна 180°;
То есть угол DFB = 180° - (угол CAB + угол CBA) = угол ACB; чтд.
PS. для любителей точных и минимальных решений - с углами можно разобраться на много проще. Вот так:
угол DOF = угол CBA, так как их стороны перпендикулярны (попарно).
По той же причине угол FOB = угол CAB.
То есть угол DOB = угол CAB + угол CBA;
PPS. угол DOF = угол CBA это так же сразу видно из того, что эти вписанные углы опираются на одну дугу DF построенной окружности.
На самом деле и для второй пары углов тоже есть возможность доказать равенство угол FOB = угол CAB, через дуги построенной окружности - дело в том, что AO - касательная к этой окружности, и угол AOF измеряется половиной дуги OF, так же как и угол OBA, а каждый из этих углов дополняет угол из пары (угол FOB и угол CAB) до 90°. То есть угол OBA = угол AOF; а угол FOB = 90° - угол OBA; угол CAB = 90° - угол AOF; => угол FOB = угол CAB;
Но это уже больше - для развлечения :)))