1) Пусть АВ – диаметр данной окружности, АС - хорда, АК - касательная.
В треугольнике АВС угол С=90° ( опирается на диаметр). АВ=2r, AC=r√3 ⇒ sin B=AC:AB ⇒ sin B=r√3:2r=√3/2.
Вписанный угол АВС равен половине дуги, на которую опирается. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой (теорема) Следовательно, ∠КАС=∠АВС=arcsin √3/2 - это синус угла 60°.
* * *
2) Задача - обратная первой. Если угол КАС=60°, то вписанный угол АВС равен ему, т.е. ∠АВС=60°. Тогда хорда АС=АВ•sin60°=2r•√3/2=r√3
1). Треугольник АВС правильный, точка М находится на одинаковом расстоянии от его сторон. Значит точка М проецируется в центр О треугольника АВС, так как если наклонные (расстояния от точки М до сторон) равны, то равны и их проекции). Центр правильного треугольника лежит на пересечении его высот, медиан и биссектрис. Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору получим
ОН=√(МН²-МО²) = √(2²-1²) = √3см.
В прямоугольном треугольнике АОН <OAH=30° (АО - биссектриса угла А = 60°), значит АО=2*ОН = 2√3 (катет против угла 30°), а АН (половина стороны треугольника рана АН=√(АО²-ОН²) = √(12-3) = 3см.
Тогда АВ = 2*3 =6см.
ответ: сторона треугольника равна 6 см.
2). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (свойство), отрезок SA перпендикулярен плоскости АВСD (дано). Следовательно, он перпендикулярен прямым АО, АВ, AD.
Тогда отрезок SO перпендикулярен прямой BD по теореме о трех перпендикулярах: Проекция AO наклонной SO перпендикулярна прямой BD, значит и наклонная SO перпендикулярна прямой BD.
1) Пусть АВ – диаметр данной окружности, АС - хорда, АК - касательная.
В треугольнике АВС угол С=90° ( опирается на диаметр). АВ=2r, AC=r√3 ⇒ sin B=AC:AB ⇒ sin B=r√3:2r=√3/2.
Вписанный угол АВС равен половине дуги, на которую опирается. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой (теорема) Следовательно, ∠КАС=∠АВС=arcsin √3/2 - это синус угла 60°.
* * *
2) Задача - обратная первой. Если угол КАС=60°, то вписанный угол АВС равен ему, т.е. ∠АВС=60°. Тогда хорда АС=АВ•sin60°=2r•√3/2=r√3
1). Треугольник АВС правильный, точка М находится на одинаковом расстоянии от его сторон. Значит точка М проецируется в центр О треугольника АВС, так как если наклонные (расстояния от точки М до сторон) равны, то равны и их проекции). Центр правильного треугольника лежит на пересечении его высот, медиан и биссектрис. Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору получим
ОН=√(МН²-МО²) = √(2²-1²) = √3см.
В прямоугольном треугольнике АОН <OAH=30° (АО - биссектриса угла А = 60°), значит АО=2*ОН = 2√3 (катет против угла 30°), а АН (половина стороны треугольника рана АН=√(АО²-ОН²) = √(12-3) = 3см.
Тогда АВ = 2*3 =6см.
ответ: сторона треугольника равна 6 см.
2). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (свойство), отрезок SA перпендикулярен плоскости АВСD (дано). Следовательно, он перпендикулярен прямым АО, АВ, AD.
Тогда отрезок SO перпендикулярен прямой BD по теореме о трех перпендикулярах: Проекция AO наклонной SO перпендикулярна прямой BD, значит и наклонная SO перпендикулярна прямой BD.
ответ: <SOD = 90°.