Реши задачу: Через точку A, лежащую на окружности, проведены диаметр AB и хорда AC, причём AC = 8 и угол BAC = 300. Найдите хорду CM, перпендикулярную AB.​

Опустим из точки S перпендикуляры: SH на сторону BC и SF на сторону CD. 
SH - наклонная, AS - перпендикуляр, AH - проекция;
Согласно теореме, обратной теореме о 3 перпендикулярах, если BC перпендикулярно SH, то BC перпендикулярно AH, следовательно, AH - высота.
SF - наклонная, AS - перпендикуляр, AF - проекция;
Согласно теореме, обратной теореме о 3 перпендикулярах, если CD перпендикулярно SF, то CD перпендикулярно AF, следовательно, AF - высота.
Рассмотрим прямоугольные треугольники SAF и SAH:
1) AS - общая сторона;
2) AF=AH - т.к. высоты ромба;
Следовательно, треугольники равны по 2 катетам. Значит, SH=SF, т.е. точка S равноудалена от прямых BC и CD, что и требовалось доказать.

а) 332,8 см².  

б)  24+4√2 дм;    40 дм².

Объяснение:

а)   ABCD - трапеция. СЕ - высота. В ΔCED ∠D=60*, ∠CED=90*, ∠ECD=30*.  

MN=16 см - средняя линия. Высота СЕ делит ее на отрезка MK=10 см и KN=6 см (16-10=6 см).

KN является средней линией треугольника CED и равна половине основания ЕВ. Следовательно ED=2KN=2*6=12 см.

Найдем высоту СЕ=h= 12/tg30* = 12 / 0.577 =20.8 см.  

S=h*MN=20,8*16=332,8 см ² .

***

б)  ABCD - трапеция. ∠С=135*.  СЕ - высота делит угол С на 2 угла 135*=90*+45*.  Следовательно Δ CDE - равнобедренный СЕ=ED=12-8=4 дм.

Найдем СD=√CE²+DE²  =√4²+4²= 4√2 дм.

Периметр Р=АВ+ВС+CD+AD=4+8+4√2+12= 24+4√2 дм.  

Площадь равна S= h(a+b)/2=4(12+8)/2=40 дм ².