Рассмотрим треугольники AKO и CMO. Они равны как прямоугольные треугольники по катету (KO=MO) и прилежащему острому углу (KOA=MAC как противоположные углы пересекающихся прямых). Следовательно высоты поделены точкой пересечения на равные отрезки, это свойство равнобедренного треугольника. Если этого мало, то треугольник AMC равен треугольнику CKA по двум катетам (MO=KO, MC=KA из предыдущего доказательства). Следовательно в них равны и углы КАС и МСА, которые являются углами при основании, а это значит что треугольник равнобедренный
Пусть АBCD трапеция с бОльшим основанием АD. Опустим высоты ВН и СК на основание АD. Получим два равных прямоугольных треугольника, ABH=СDK, АН=КD=(AD-BC):2=18:2=9 см. Пусть 4х см высота ВН, 5х боковая сторона АВ. По теореме Пифагора: АВ²=ВН²+АН², подставим значения, получим (5х)²=(4х)²+9² 25х²=16х²+81 25х²-16х²=81 9х²=81 х²=81:9 х²=9 х1=-3<0 не подходит х2=3, 4*3=12 см высота ВН 5*3=15 см боковая сторона АВ=СD. Найдем основание трапеции Периметр АВСD=AB+BC+CD+AD подставим известные значения, получим 64=15+ВС+15+АD 64=30+BC+AD 64-30=BC+AD 34=BC+AD, воспользуемся формулой площади трапеции: S=(AB+BC)*BH/2=34*12/2=204 см² ответ: 204 см²
Пусть 4х см высота ВН, 5х боковая сторона АВ. По теореме Пифагора:
АВ²=ВН²+АН², подставим значения, получим
(5х)²=(4х)²+9²
25х²=16х²+81
25х²-16х²=81
9х²=81
х²=81:9
х²=9
х1=-3<0 не подходит
х2=3,
4*3=12 см высота ВН
5*3=15 см боковая сторона АВ=СD.
Найдем основание трапеции
Периметр АВСD=AB+BC+CD+AD
подставим известные значения, получим
64=15+ВС+15+АD
64=30+BC+AD
64-30=BC+AD
34=BC+AD, воспользуемся формулой площади трапеции: S=(AB+BC)*BH/2=34*12/2=204 см²
ответ: 204 см²