Пусть высота будет h, часть третьей стороны от угла до основания высоты будет х, вторая часть третьей стороны от основания высоты до второго угла при основании тр-ка будет y. Тогда h = x+y. По пифагору из двух прямоугольных тр-ков имеем: h² + x² =13, h²+y² = 10. имеем систему из трех уравнений. попробуем ее решить. x² + (x+y)² = 13; y² + (x+y)² = 10 или 2x²+2xy+y² = 13; x²+2xy+2y² = 10. Разделим одно уравнение на другое и получим: 20x²+20xy+10y² = 13x²+26xy+26y²; приводим подобные и имеем 7x²-6xy-16y² = 0. Решаем квадратное уравнение. Причем вспомним (для меня это было самое трудное), что если коэффмцмент b = 2k, то можно применять формулу: x = (-k± √(k²-ac))/a. В нашем случае х = (3y ± √(9y²-112y²)):7 = (3y ± 11y):7 = 2y. Итак, х = 2y, подставим в h = x+y и получим h = 3y. Подставим h в h²+y² = 10 и получим 10y² = 10. Значит у = 1. тогда третья сторона равна h = 2+1 = 3.
Ну, сечением будет НЕправильный пятиугольник. Две его вершины будут лежать на ребрах ВВ1 и DD1 на расстоянии 1 от грани ABCD (это на ответ никак не влияет, поэтому я и не пишу, как это найдено). Многогранник с вершиной в точке С - это пятиугольная пирамида. У неё 10 ребер, 6 вершин и 6 граней. Многогранник с вершиной в точке А. В "сравнении с начальным кубом" из 8 вершин он потерял вершину С, но приобрел 5 вершин сечения, всего стало 12 вершин. Все 6 граней куба являются (частично) гранями этого многогранника, "плюс" сечение, всего 7. Так же и ребра - все 12 ребер куба (частично) являются ребрами этого многогранника, "плюс" 5 сторон сечения, всего 17. Для этого многогранника "наибольший отрезок" очевидно равен большой диагонали куба AC1, то есть 6√3
Тогда h = x+y. По пифагору из двух прямоугольных тр-ков имеем: h² + x² =13, h²+y² = 10. имеем систему из трех уравнений. попробуем ее решить. x² + (x+y)² = 13; y² + (x+y)² = 10 или 2x²+2xy+y² = 13; x²+2xy+2y² = 10. Разделим одно уравнение на другое и получим: 20x²+20xy+10y² = 13x²+26xy+26y²; приводим подобные и имеем 7x²-6xy-16y² = 0. Решаем квадратное уравнение. Причем вспомним (для меня это было самое трудное), что если коэффмцмент b = 2k, то можно применять формулу: x = (-k± √(k²-ac))/a. В нашем случае
х = (3y ± √(9y²-112y²)):7 = (3y ± 11y):7 = 2y.
Итак, х = 2y, подставим в h = x+y и получим h = 3y. Подставим h в
h²+y² = 10 и получим 10y² = 10. Значит у = 1.
тогда третья сторона равна h = 2+1 = 3.
Многогранник с вершиной в точке С - это пятиугольная пирамида. У неё 10 ребер, 6 вершин и 6 граней.
Многогранник с вершиной в точке А. В "сравнении с начальным кубом" из 8 вершин он потерял вершину С, но приобрел 5 вершин сечения, всего стало 12 вершин. Все 6 граней куба являются (частично) гранями этого многогранника, "плюс" сечение, всего 7. Так же и ребра - все 12 ребер куба (частично) являются ребрами этого многогранника, "плюс" 5 сторон сечения, всего 17.
Для этого многогранника "наибольший отрезок" очевидно равен большой диагонали куба AC1, то есть 6√3