Решить .какие ктонадо вариант 1
1. отрезки кn и pt пересекаются в точке o и делятся ею пополам. докажите, что kp = nt.
2. в mnk mn = nk, np – медиана, knp = 40°. найдите mnk.
3. периметр равнобедренного треугольника равен 15,3см. его основание больше боковой стороны на 3 см. найдите стороны треугольника.
4. луч ак – биссектриса угла а. на сторонах угла а отмечены точки в и с так, что hello_html_40701f0d.gifакв = hello_html_40701f0d.gifакс. докажите, что ав = ас.
вариант 2
1. bd=ac и bc = ad. докажите, что adb = acb.
hello_html_m101747f9.png
2. в mnk mn = nk, nc – медиана, mnk = 120°. найдите mnc.
3. периметр равнобедренного треугольника равен 13,6см. его основание меньше боковой стороны на 2 см. найдите стороны треугольника.
4. на сторонах угла а отмечены точки м и k так, что ам = аk. точка р лежит внутри угла а и рk = рм. докажите, что луч ар – биссектриса угла маk.
Внутри треугольника АВС взята точка D такая, что угол ABD = угол ACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и BC перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°
* * *
Продлим ВD до пересечения с АС в т.Н, а отрезок СD - до пересечения с АВ в т.К и проведем АМ через т.D.
∠АСD=45° по условию, Если ∠ВАС=45°, то ∠АКС=90° и ∆ АСК – равнобедренный прямоугольный. АК=СК.
В ∆ АВН два угла при АВ равны 45°⇒∠ВНА=90° и ∆ АВН - равнобедренный прямоугольный, Тогда точка D - пересечение высот СК и ВН треугольника АВС. Отрезок АМ, содержащий АD, проходит через точку пересечения высот, следовательно, является высотой и перпендикулярен ВС. Отсюда АD⊥ВС. Доказано.
Прямоугольные ⊿ АКD и ⊿ CMD подобны по равному углу при вершине D ( вертикальные) ⇒ ∠КАD=∠MCD.
Рассмотрим ⊿ АКD и ⊿ ВКС. Из ⊿ АКС их катеты АК=СК. Острые ∠КАD и ∠КСВ равны (из доказанного выше). Следовательно, ⊿ АКD=⊿ ВКС по катету и острому углу. Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников. АD=ВС, ч.т.д.