решить контрольную по геометрии, хотя бы 4 задания! 1) В треугольнике угол C прямой, BC = 3 см и AC = 4 см. угол А = α. Найдите значения sin α, cos α, tg α. 2) Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках Е и F соответственно. Найдите длину EF, если сторона AC равна 15 см. 3) Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол между ними 45°. Найдите высоты параллелограмма. 4) Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, - 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. 5) Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, AB = 12 см, ∠A = 60°, ∠СBD = 30°. Найдите отрезок CD.
Сперва поймем, что треугольник ABC - остроугольный (если он прямоугольный. то хотя бы одна из точек M, N совпадет с какой-нибудь вершиной, а если тупоугольный - M и N попросту не будет, окружность будет пересекать стороны только в точках D и E)
Сначала решим в лоб: можно найти все углы в треугольнике. Дальше, ввиду подобия треугольников, узнаем углы EDC и DEC. Так как треугольники ODN, OME равнобедренные, можно найти углы EOM и DON, а значит, и NOM. Наконец, зная ON, OM и угол между ними, по теореме косинусов найдется NM.
Попробуем реализовать. cos A = (-a^2 + b^2 + c^2)/2bc cos B = (a^2 - b^2 + c^2)/2ac
cos NOD = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = 1 - 2cos^2 A sin NOD = sqrt(1 - cos^2 NOD) = 2 sqrt(cos A - cos^2 A)
cos MOE = 1 - 2cos^2 B sin MOE = sqrt(1 - cos^2 MOE) = 2 sqrt(cos B - cos^2 B)
cos MON = cos(180 - (NOD + MOE)) = -cos(NOD + MOE) = sin NOD sin MOE - cos NOD cos MOE = 4 sqrt((cos A - cos^2 A)(cos B - cos^2 B)) - (1 - 2cos^2 A)(1 - 2cos^2 B)
MN = с/4 * sqrt(1 - cos MON)
При наличии некоторого терпения можно подставить вместо угла всё то, что насчиталось по ходу рассуждений, и получить "симпатичный" ответ MN = c(a^2 + b^2 - c^2)/4ab
Теперь попробуем угадать хорошее решение (без издевательских выкладок). a^2 + b^2 - c^2 - по теореме косинусов это 2ab cos C, так что MN = c * 2ab cos C / 4ab = c/2 * cos C. Вспомним, что угол, образованный секущими, пересекающимися вне круга, равен половине разности дуг, заключенных между сторонами. Тогда C = (180 - MON)/2, MON = 180 - 2C. MN = 2 * OM * sin (MON/2) = 2 * c/4 * sin (90 - C) = c/2 * cos(C), ч.т.д.
Путь по течению = 45 км
Скорость против течения = (x-2) км/ч
Скорость по течению = (x+2) км/ч
Общее время = 14 ч
S=v*t
t=S/v
45/(x+2) + 45/(x-2) = 14
(45(x-2)+45(x+2)) / ((x+2)(x-2)) = 14
(45x-90+45x+90) / (x^2-2x+2x-4) = 14
(90x) / (x^2-4) = 14
90x = 14(x^2-4)
90x=14x^2-56
14x^2-90x-56=0
D=(-90)^2-4*14*(-56)=8100+3136=11236
x1=(90+106)/28=196/28=7 (км/ч)
x2=(90-106)/28=-16/28=-4/7 - не удовлетворяет условию задачи
ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч
проверка:
S1=45 км
v1=7-2=5 км/ч - против течения
S2=45 км
v2=7+2=9 км/ч - по течению
t=14
45/5 + 45/9 = 14
9+5=14
14=14
Сначала решим в лоб: можно найти все углы в треугольнике. Дальше, ввиду подобия треугольников, узнаем углы EDC и DEC. Так как треугольники ODN, OME равнобедренные, можно найти углы EOM и DON, а значит, и NOM. Наконец, зная ON, OM и угол между ними, по теореме косинусов найдется NM.
Попробуем реализовать.
cos A = (-a^2 + b^2 + c^2)/2bc
cos B = (a^2 - b^2 + c^2)/2ac
cos NOD = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = 1 - 2cos^2 A
sin NOD = sqrt(1 - cos^2 NOD) = 2 sqrt(cos A - cos^2 A)
cos MOE = 1 - 2cos^2 B
sin MOE = sqrt(1 - cos^2 MOE) = 2 sqrt(cos B - cos^2 B)
cos MON = cos(180 - (NOD + MOE)) = -cos(NOD + MOE) = sin NOD sin MOE - cos NOD cos MOE = 4 sqrt((cos A - cos^2 A)(cos B - cos^2 B)) - (1 - 2cos^2 A)(1 - 2cos^2 B)
MN = с/4 * sqrt(1 - cos MON)
При наличии некоторого терпения можно подставить вместо угла всё то, что насчиталось по ходу рассуждений, и получить "симпатичный" ответ
MN = c(a^2 + b^2 - c^2)/4ab
Теперь попробуем угадать хорошее решение (без издевательских выкладок). a^2 + b^2 - c^2 - по теореме косинусов это 2ab cos C, так что MN = c * 2ab cos C / 4ab = c/2 * cos C.
Вспомним, что угол, образованный секущими, пересекающимися вне круга, равен половине разности дуг, заключенных между сторонами. Тогда C = (180 - MON)/2, MON = 180 - 2C. MN = 2 * OM * sin (MON/2) = 2 * c/4 * sin (90 - C) = c/2 * cos(C), ч.т.д.