Решить по 9 класс. вокруг трапеции описана окружность радиусом 4 см. одно из оснований в два раза больше любой другой стороны. найти диагонали трапеции.

Эта трапеция - "половинка" правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Большее основание является диаметром, остальные стороны равны радиусу, диагонали равны 2R(√3/2)  = 4√3;  

Учитель, конечно же, потребует обоснования единственности такой фигуры - ну, может есть еще какая-то трапеция с такими сторонами, но у неё углы при основании не 60°. На самом деле это все очевидно, но "строго" это так делается - если продолжить боковый стороны до пересечения, то верхнее основание трапеции - средняя линяя получившегося треугольника, поэтому у него все стороны равны...

Еще он потребует объяснить, почему диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Ну, с этим вы справитесь :)...