РЕШИТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ ОТ

А1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, один из катетов - 6 см. Найти радиус описанной окружности.

А)5см Б) 8см В) 6см Г) 10см

А2. Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его

А) медиан Б) высот В) биссектрис

Г) серединных перпендикуляров к его сторонам

А3. Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: r = 20 cм, d = 17 cм

А) имеют две общие точки Б) одна общая точка В) не имеют общих точек.

А4. . Градусная мера дуги АС равна 980 Найдите градусную меру вписанного угла АВС.

А) 490 Б) 1960 В) 980 Г) другой ответ

А5. Центральный угол АОС больше вписанного угла АВС на 640 . Найдите градусную меру дуги АВС.

А) 640 Б) 1280 В) 680 Г) 320

512√3 см²

Объяснение:

Выполним рисунок. Дан ромб АБСД, диагональ АС=32√3, диагональ ВД, т.О - точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Значит, найдём его диагонали.

1 вариант решения

Рассмотрим ΔАВД.

Он - равносторонний.

Докажем это утверждение. АВ=АД как стороны ромба, значит ΔАВД-равнобедренный с основанием ВД и равными ∠АВД=∠АДВ.

∠АВД=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит ΔДАВ=180-60-60=60°. Все три угла равны, значит доказано, что ΔАВД - равносторонний.

Тогда ВД=АВ=АД.

Т.к. у ромба все стороны равны и их 4, то длина стороны ромба равна периметру ромба, делённому на 4: 128/4=32 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 32 / 2 = 512√3 см².

2 вариант решения.

Рассмотрим ΔАВО.

Он - прямоугольный с

гипотенузой АВ, равной стороне ромба,

∠ВОА=90° т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом

и катетами АО и ВО, равными соответственно половинам диагоналей АС и ВД, т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

∠АВО=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°.

Найдём ВО. Эту величину можно найти 2-мя путями.

ВО=АВ*cos∠ABO = Р/4 * cos 60° = 32 * 0.5 = 16 см  или

ВО=АО*ctg∠ABO = 16√3 * 1/√3 = 16 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 16 * 2 / 2 = 512√3 см².

Наличие такого количества решений возникло по причине избыточности условия. Эту задачу можно было бы решить не зная величины периметра ромба, либо без длины диагонали. Ключевое условие здесь, это значение угла , равное 120°.

1) Проведем МН параллельно АD  и обозначим ее пересечение с ВК точкой Т. 

МН=АD; ВН=АН

АК=АD/2 

 НТ||АD ⇒ НТ – средняя линия ∆ АВК и равна половине АК, значит, НТ=АD/4⇒

ТМ=AD-AD/4=3АD/4

2) ∠РАК=∠РМТ - накрестлежащие. 

Углы при пересечении ВК и АМ  равны как вертикальные. 

∆ АРК~∆ ТРМ по равным углам.

АК:ТМ=АD/2 : 3АD/4=3/2

Проведем  КЕ параллельно АВ. 

ВЕ=АК, АВ=КЕ⇒

АВЕК - параллелограмм, его площадь равна половине площади АВСD. 

Примем площадь АВСD=Sр (т.е. S parall) Площадь АВЕК=Sр/2

3) Диагональ ВК делит АВЕК пополам. 

Площадь ∆ АВК равна половине площади АВЕК=Sр/4

В ∆ АВК   ВТ=ТК

Примем коэффициент  отношения ТР/РК равным а. Тогда отрезок  ТК=3a+2a=5а 

ВТ=ТК=5а, ВК=ВТ+ТК=10а. 

Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. 

S(АРК):SABK=2/10=1/5

S(АРК)= Sp/4•1/5=1/20 ⇒

Площадь  ∆ АРК относится к площади параллелограмма как 1/20.