Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:
Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный. Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:
Следовательно стороны в два раза больше: Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:
Сначала найдём площадь шестиугольника, вписанного в окружность. Пусть a - сторона шестиугольника, причём так как сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то R = a. Тогда площадь данного шестиугольника будет рассчитываться по формуле:
S1 = 3√3 R² / 2 = 3√3 a² / 2
Теперь найдём площадь шестиугольника, описанного около окружности. Известно, что радиус вписанной окружности равен стороне вписанного шестиугольника, то есть r = a.
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:
Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:
Следовательно стороны в два раза больше:
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:
ответ: 2/3
Сначала найдём площадь шестиугольника, вписанного в окружность. Пусть a - сторона шестиугольника, причём так как сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то R = a. Тогда площадь данного шестиугольника будет рассчитываться по формуле:
S1 = 3√3 R² / 2 = 3√3 a² / 2
Теперь найдём площадь шестиугольника, описанного около окружности. Известно, что радиус вписанной окружности равен стороне вписанного шестиугольника, то есть r = a.
S2 = 2√3r² = 2√3 a²
Теперь находим отношение этих площадей.
S1 / S2 = 3√3 a² / 2 : 2√3 a² = 3/4