N1 т.к. OC,OB,OA - радиусы, то OA=OC=OB угол COB=углу AOB по условию Следовательно треугольники COB и AOB равны (по 2 сторонам и углу(первый признак)) N2 треугольник ABC-равнобедренный по условию Значит AB=BC Пусть AB- x, тогда AC - (x+8), а BC - x. x+x+x+8=38 3x=30 x=10=AB=BC (см) 2)10+8=AC=18(см) N3 Всего = 105 градусов(т.к. угол MPH - самый большой угол, в котором находятся более маленькие углы) Пусть угол MPK - x, тогда KPH - 4x. x+4x=105 5x=105 x=21(градус)=MPK углу N4 т.к. углы A и BMH равны, то MH параллельна AC ( соответственные углы) Следовательно угол MHB = углу C = 60(градусов) ( соотв) углы C и MHC - односторонние = 180 градусов ( т.к. стороны параллельны) Следовательно угол MHC=180-уголC=120 ( градусов ) N5 т.к. углы CBA и ABD -смежные, то угол ABD=180- угол ABC= 140 BO-бис Cледовательно 140/2=70(градусов)= углу OBD N6 т.к. AB=BC, то треугольник ABC-равнобедренный Значит углы A и С - равные Следовательно AB/2= AM = MB = BC/2 = BH = CH т.к. MD и HE - перпендикуляры,то углы ADM=HEC=90(градусов) Следовательно треугольники AMD и HEC - прямоугольные Они будут равны по гипотенузе и острому углу. N7(1) Пусть ACB - острый угол, а BCD - тупой угол Проведем CF - бис и CE - бис Значит углы ACF = FCB, а углы BCE = ECD угол FCE = 90 (можно подставить например: тупой угол = 120,а острый угол = 60(т.к. сумма смежных равна 180),то углы FCB=ACF=30,а углы BCE=ECD=60,тогда 30+60=FCB+BCE=90=FCE) N7(2) Пусть ACB и DCE - вертикальные углы. Проведем бис CO(угла ACB) и CM(угла ECD) У нас получается, что бис переходят в единую прямую Значит OCM =180(градусов) N8 СK-бис и BE-бис т.к. треугольник ABC - прямоугольный , то углы KCB = ACK = 45 угол СBO = 180 - ( COB + OCB)=40(т.к. сумма углов в треугольнике) Следовательно угол B =40x2=80 Значит угол С=90-80=10 (т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике=90) N9 Пусть CD пересекает AB в точке O Cледовательно COA=DOB сумма 2 раазвернутых углов(прямые) равна 360(градусов) Пусть x - AOC=DOB(вертикальные углы), тогда (x + 42) - COB=AOD x+x+x+42+x+42 4x=276 x=69 2)COB=AOD(вертикальные)=69+42=111 N10 т.к. AB-диаметр,то AO= OB ( O-середина окр) Проведем радиус CO Значит AO=OC=OB Следовательно треугольники AOC и OCB - равнобедренные Значит углы CAB=OCA=70 угол AOC=180-70x2=40 угол COB = 180 - 40 =140 углы OCB = ABC = (180-140)/2=20
Что-то не так. Во-первых, опечатка - не призма, а пирамида. Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды. Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида. В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней). Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным. Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN. Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN. В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба, а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба. Теперь решаем задачу. Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2, OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α. В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α. В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α) SL = a/2*√(1 + 2tg α) Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β: tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α В треугольнике RR1L катет RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α) Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем NL = NP + PR + RL a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2
т.к. OC,OB,OA - радиусы, то OA=OC=OB
угол COB=углу AOB по условию
Следовательно треугольники COB и AOB равны (по 2 сторонам и углу(первый признак))
N2
треугольник ABC-равнобедренный по условию
Значит AB=BC
Пусть AB- x,
тогда AC - (x+8),
а BC - x.
x+x+x+8=38
3x=30
x=10=AB=BC (см)
2)10+8=AC=18(см)
N3
Всего = 105 градусов(т.к. угол MPH - самый большой угол, в котором находятся более маленькие углы)
Пусть угол MPK - x,
тогда KPH - 4x.
x+4x=105
5x=105
x=21(градус)=MPK углу
N4
т.к. углы A и BMH равны, то MH параллельна AC ( соответственные углы)
Следовательно угол MHB = углу C = 60(градусов) ( соотв)
углы C и MHC - односторонние = 180 градусов ( т.к. стороны параллельны)
Следовательно угол MHC=180-уголC=120 ( градусов )
N5
т.к. углы CBA и ABD -смежные, то угол ABD=180- угол ABC= 140
BO-бис
Cледовательно 140/2=70(градусов)= углу OBD
N6
т.к. AB=BC, то треугольник ABC-равнобедренный
Значит углы A и С - равные
Следовательно AB/2= AM = MB = BC/2 = BH = CH
т.к. MD и HE - перпендикуляры,то углы ADM=HEC=90(градусов)
Следовательно треугольники AMD и HEC - прямоугольные
Они будут равны по гипотенузе и острому углу.
N7(1)
Пусть ACB - острый угол, а BCD - тупой угол
Проведем CF - бис и CE - бис
Значит углы ACF = FCB, а углы BCE = ECD
угол FCE = 90 (можно подставить например: тупой угол = 120,а острый угол = 60(т.к. сумма смежных равна 180),то углы FCB=ACF=30,а углы BCE=ECD=60,тогда 30+60=FCB+BCE=90=FCE)
N7(2)
Пусть ACB и DCE - вертикальные углы.
Проведем бис CO(угла ACB) и CM(угла ECD)
У нас получается, что бис переходят в единую прямую
Значит OCM =180(градусов)
N8
СK-бис и BE-бис
т.к. треугольник ABC - прямоугольный , то углы KCB = ACK = 45
угол СBO = 180 - ( COB + OCB)=40(т.к. сумма углов в треугольнике)
Следовательно угол B =40x2=80
Значит угол С=90-80=10 (т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике=90)
N9
Пусть CD пересекает AB в точке O
Cледовательно COA=DOB
сумма 2 раазвернутых углов(прямые) равна 360(градусов)
Пусть x - AOC=DOB(вертикальные углы),
тогда (x + 42) - COB=AOD
x+x+x+42+x+42
4x=276
x=69
2)COB=AOD(вертикальные)=69+42=111
N10
т.к. AB-диаметр,то AO= OB ( O-середина окр)
Проведем радиус CO
Значит AO=OC=OB
Следовательно треугольники AOC и OCB - равнобедренные
Значит углы CAB=OCA=70
угол AOC=180-70x2=40
угол COB = 180 - 40 =140
углы OCB = ABC = (180-140)/2=20
Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды.
Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида.
В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней).
Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным.
Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN.
Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN.
В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба,
а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба.
Теперь решаем задачу.
Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2,
OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α.
В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α.
В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора
SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α)
SL = a/2*√(1 + 2tg α)
Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β:
tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α
В треугольнике RR1L катет
RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α)
Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем
NL = NP + PR + RL
a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2