Решите тест. 1)Отметьте верные утверждения
А. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.
Б. Проекция прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.
В. Перпендикуляр проведенный из данной точки к плоскости, больше любой наклонной их этой точки к этой плоскости.
Г. перпендикуляр проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной из этой точки к этой плоскости.
Д. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Е. Через любую прямую пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.
2. Теорема о трех перпендикулярах: (отметьте верное)
А. Если одна из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярна к плоскости, то и другая перпендикулярна к этой плоскости.
Б. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
В. Если одна из двух перпендикулярных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.
3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: (отметьте верное)
А. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярно к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Б. если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащих в плоскости. То она перпендикулярна к этой плоскости.
В. Если прямая перпендикулярна хотя бы одной прямой из плоскости, то они перпендикулярны.
4. Определение двугранного угла:
А. Двугранного углом называется фигура, образованная прямой "a" и двумя полуплоскостями с общей границей "а", не принадлежащими одной плоскости.
Б. Двугранного углом называют угол, образованный двумя лучами, перпендикулярными граням фигуры.
5. Сколько двугранных углов имеет тетраэдр
А. 3
Б. 4
В. 6
6. Можно ли через точку пространства провести 3 плоскости, каждые две из которых перпендикулярны?
А. Да
Б. Нет
Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD.
Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник.
Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма).
Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета).
Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа).
Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b.
Получаем систему
{ a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD)
{ a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD)
{ (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD)
{ ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC)
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2y - 2b = 0
b = y
Подставляем
{ 3a + 2b = 180
{ a + 4b = 180
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2a - 2b = 0
a = b
То есть все три угла равны друг другу
a = b = y
3a + 2a = 5a = 180
a = b = y = 180/5 = 36 градусов.
Самый большой угол
y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.
1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.
Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:
АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм
Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:
C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см
2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:
Sсеч = π · r² = 36π
r² = 36
r = 6 см
Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:
ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.
3. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Площадь сечения:
Sсеч = πr²
Площадь большого круга:
S = πR², R = √(S/π)
Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²
По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒
r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2
В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.
Тогда ∠А = 30°.
Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен
OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)
4. Радиус шара равен половине диаметра:
R = 2√3 см
Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому
ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см
Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²