Решите задачи для подготовки к егэ по геометрии
С подробным решением

Дано: ABCD - прямоугольник, AB=DC= 12 см, BC=AD=16 см, AC и BD - диагонали ABCD, AC∩BD = т.О, K ∉ ABCD, OK⊥ABCD, КО=5√5 см.

Найти: АК.

Решение.

Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности => точка О - центр описанной около прямоугольника ABCD окружности.

Длины отрезков AO, OC, BO, OD равны между собой и равны радиусу описанной окружности.

AO=OC=BO=OD.

Если проекции наклонных, проведённых из одной точки, равны, то равны и наклонные. Соответственно, ВК=КС=КD=KA (поскольку проекции данных наклонных (ВО, СО, DO и AO) равны между собой).

Найдём диагональ прямоугольника ABCD.

В прямоугольном ΔBAD (∠BAD=90°) по т. Пифагора:

BD²= AB²+AD²;

BD²= 12²+16²;

BD²= 400;

BD= 20 (-20 не подходит).

Диагонали прямоугольника равны, пересекаются и в точке пересечения делятся пополам => BO=OD=АО=ОD=½ BD= 20÷2=10 (см).

В прямоугольном ΔАОК (∠AOK=90°) по т. Пифагора:

АК²= АО²+ОК²;

АК²= 10²+(5√5)²;

AK²= 100+125;

AK²= 225;

AK= 15 (-15 не подходит).

Расстояние от т.К до вершин прямоугольника равно 15 см.

ОТВЕТ: 15 см.

P.S. Очень надеюсь, что все понятно расписала...)

1. При перетині паралельних прямих січною утворюються 4 однакові пари кутів: 37° і 180 - 37 = 143°. Тобто, серед семи інших кутів три по 37° і чотири по 143°.

2. Сума внутрішніх одностороніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, складає 180°. Отже:

6х + 3х = 180

9х = 180

х = 20

3·20 = 60°

6·20 = 120°

Кути дорівнюють 60° і 120°.

3. Сума кутів, утворених при перетині двох прямих складає 360°.

Тому четвертий кут дорівнює: 360 - 209 = 151°.

Отже, чотири з восьми кутів дорівнюють 151° кожен, ще чотири мають по 180 - 151 = 29° кожен.