Прямые DE и SB не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости. Они скрещивающиеся.
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно:
Провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. При этом получатся пересекающиеся прямые. Угол между ними равен углу между исходными скрещивающимися.
CE=SE по условию; ЕМ ║ SB и является средней линией ∆ SCB.
Искомый угол – ∠DEM.
Так как все ребра пирамиды равны, её боковые грани - правильные треугольники. Примем длину ребер равной 1.
1) АВ⊥ВС (как соседние стороны квадрата - основания куба). В1В⊥АВ (как соседние стороны квадрата - боковой грани куба). По теореме о трех перпендикулярах АВ1⊥AD, так как В1А - наклонная, а АВ - проекция этой наклонной на плоскость АВСD, перпендикулярная AD. По той же теореме и АВ1⊥D1C1, так как АВ1 - наклонная, а ВВ1 - проекция этой наклонной на плоскость ВВ1С1C, перпендикулярная В1С1. Что и требовалось доказать.
2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. АС⊥BD. FC⊥AC, так как FC перпендикулярна плоскости АВСD (дано). Проведем В1D1 параллельно BD. Тогда АС⊥B1D1, а AF⊥B1D1 по теореме о трех перпендикулярах, так как АС - проекция наклонной AF на плоскость АВСD, а АС⊥B1D1, а значит и BD. Что и требовалось доказать.
Прямые DE и SB не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости. Они скрещивающиеся.
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно:
Провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. При этом получатся пересекающиеся прямые. Угол между ними равен углу между исходными скрещивающимися.
CE=SE по условию; ЕМ ║ SB и является средней линией ∆ SCB.
Искомый угол – ∠DEM.
Так как все ребра пирамиды равны, её боковые грани - правильные треугольники. Примем длину ребер равной 1.
Тогда ЕМ=CM=1/2.
DE=DC•sin60°=√3/2
Из прямоугольного ∆DEM по т.Пифагора найдём DM²
DM²=CM²+DC²=(1/2)²+(√3/2)²=5/4
По т.косинусов
DM²=EM²+DE²-2•EM•DE•cos(DEM)
cosDEM=(DM²-(DE²+EM²)²(-2•DE•EM)
cosDEM=[5/4 - {1/2)²+(√3/2)²}:(-2•(1/2)•√3/2)= - (1/4) •2/√3=-1/2√3
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на √3, получим:
ответ arccos=-√3/6
cos∠DEM= -0.2886751345948128812 По калькулятору это ≈ 106°47’43’’
В1В⊥АВ (как соседние стороны квадрата - боковой грани куба).
По теореме о трех перпендикулярах АВ1⊥AD, так как В1А - наклонная, а АВ - проекция этой наклонной на плоскость АВСD, перпендикулярная AD.
По той же теореме и АВ1⊥D1C1, так как АВ1 - наклонная, а ВВ1 - проекция этой наклонной на плоскость ВВ1С1C, перпендикулярная В1С1.
Что и требовалось доказать.
2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. АС⊥BD.
FC⊥AC, так как FC перпендикулярна плоскости АВСD (дано).
Проведем В1D1 параллельно BD. Тогда АС⊥B1D1, а AF⊥B1D1 по теореме о трех перпендикулярах, так как АС - проекция наклонной AF на плоскость АВСD, а АС⊥B1D1, а значит и BD.
Что и требовалось доказать.