Обозначим точку пересечения этой прямой и стороны квадрата АВ как Т АТ+ТВ = АВ ТВ = R ---радиус окружности выразим АТ через радиус... из равнобедренного треугольника АОD, где AD = AB = AT+R высота этого треугольника, проведенная к основанию, = АТ из получившегося прямоугольного треугольника по т.Пифагора (AD/2)^2 + AT^2 = R^2 AD^2 + 4AT^2 = 4R^2 (AT+R)^2 + 4AT^2 = 4R^2 AT^2 + 2AT*R + R^2 + 4AT^2 - 4R^2 = 0 5AT^2 + 2AT*R - 3R^2 = 0 D = (2R)^2 - 4*5*(-3R^2) = 4R^2 + 60R^2 = (8R)^2 AT = (-2R + 8R)/10 ---отрицательный корень не рассматриваем (не имеет смысла...) AT = 6R/10 = 3R/5 искомое отношение: AT/TB = (3R/5) / R = 3/5
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам... Половина диагонали и будет радиусом описанной окружности... получили два равнобедренных треугольника с боковыми сторонами = R в одном треугольнике угол при вершине 30 градусов (это угол между диагоналями), в другом 120 градусов (смежный с ним)... осталось найти основания треугольников (это стороны прямоугольника)... по т.синусов из одного треугольника: a/sin30 = R/sin75 из второго треугольника: b/sin150 = R/sin15 Sпрямоугольника = ab = (Rsin30/sin75)(Rsin150/sin15) = R^2sin30sin(180-30) / (sin(90-15)sin15) = R^2 / (4cos15sin15) = R^2 = 144 (т.к. Sкруга = pi*R^2 = 144pi => R^2 = 144)
АТ+ТВ = АВ
ТВ = R ---радиус окружности
выразим АТ через радиус...
из равнобедренного треугольника АОD, где AD = AB = AT+R
высота этого треугольника, проведенная к основанию, = АТ
из получившегося прямоугольного треугольника по т.Пифагора
(AD/2)^2 + AT^2 = R^2
AD^2 + 4AT^2 = 4R^2
(AT+R)^2 + 4AT^2 = 4R^2
AT^2 + 2AT*R + R^2 + 4AT^2 - 4R^2 = 0
5AT^2 + 2AT*R - 3R^2 = 0
D = (2R)^2 - 4*5*(-3R^2) = 4R^2 + 60R^2 = (8R)^2
AT = (-2R + 8R)/10
---отрицательный корень не рассматриваем (не имеет смысла...)
AT = 6R/10 = 3R/5
искомое отношение: AT/TB = (3R/5) / R = 3/5
Половина диагонали и будет радиусом описанной окружности...
получили два равнобедренных треугольника с боковыми сторонами = R
в одном треугольнике угол при вершине 30 градусов (это угол между диагоналями), в другом 120 градусов (смежный с ним)...
осталось найти основания треугольников (это стороны прямоугольника)...
по т.синусов
из одного треугольника: a/sin30 = R/sin75
из второго треугольника: b/sin150 = R/sin15
Sпрямоугольника = ab = (Rsin30/sin75)(Rsin150/sin15) =
R^2sin30sin(180-30) / (sin(90-15)sin15) = R^2 / (4cos15sin15) = R^2 = 144
(т.к. Sкруга = pi*R^2 = 144pi => R^2 = 144)