Пусть в равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность с центром O. Обозначим точки касания окружности со сторонами AC,AB и BC за D,E,F соответственно. По свойству вписанной окружности, CD=CF, AD=AE, BE=BF. Заметим, что отрезок CD равен r, так как четырехугольник CDOF - квадрат (в нём две соседние стороны равны r, а все четыре угла прямые). Обозначим отрезок AD за x, тогда стороны треугольника равны r+x, r+x и 2x. Мы знаем, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в √2 раз больше катета (это очевидно следует из теоремы Пифагора), значит, имеет место равенство √2(r+x)=2x, откуда (2-√2)x=√2r, то есть x=√2/(2-√2)*r=1/(√2-1)*r=(√2+1)*r. Значит, катет треугольника равен (√2+2)*r, а гипотенуза равна 2*(√2+1)*r.
Образующая равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 30°, значит если провести высоту конуса и проекцию в эту точку(радиус) , то получится прямоугольный треугольник, катет которого(высота конуса) лежит против угла в 30° и равен половине гипотенузы(образующей конуса). получаем :высота конуса=1/2*образующюю конуса=1/2*10=5. 2 катет этого треугольника(Радиус плоскости основания) можно найти через теорему пифагора:r=корень из 10*10-5*5=корень из 75(пока так и оставим). осталось только подставить:V=1/3*pi*r*r*H=1/3*3,14*75*5=392,5.(если честно, не помню значение.pi. написала, что оно равно 3,14. )
