1) Периметр найдем длины всех сторон АВ= √(2+5)^2+(3-4)^2+(1-2)^2 = √49+1+1=√51BC= √(-3-2)^2+(-1-3)^2+(-3-1)^2 = √25+16+16 = √57AC= √(-3+5)^2+(-1-4)^2+(-3-2)^2 = √4+25+25 = √54P= √51+√57+√54
2) cosa =?AB={7;-1;-1}BC={-5;-4;-4}cosa= ( 7*-5+1*4+1*4) / √51*57 = -27/√2907
3) BM медиана она будет серединой АС AC/2 ={-3-5/2; -1+4/2 ; -3+2/2}= {-4 ; 3/2 ; -1/2 }BM=√(2+4)^2+(3-3/2)^2+( 1+1/2)^2 = √40.5
4) средняя линия треугольника параллельна третей стороне и равна ее половине то есть HM=BC/2 =√57/2
5) найдем уравнения медиан назовем точки пересечения с сторонами ; A1.B1.C1 соотвественно А1 -ВСВ1 -АС C1 -AB
A1= {-3+2/2; -1+3/2 ; -3+1 /2} = {-1/2 ; 1; -1 }B1= {-3-5/2; -1+4/2 ; -3+2/2 } = { -4; 3/2; -1/2 } C1= { 2-5/2; 3+4/2 ; 1+2/2 } = {-3/2 ; 7/2 ; 3/2}
теперь направляющие вектора АА1 = {-1/2 +5 ; 1-4; -1-2 } = {4.5 ; -3 ; -3 }BB1 = {-4-2 ; 1.5-3 ; -0.5-1} = {-6 ;-1.5;-1.5 }CC1= {-1.5+3; 3.5+1; 1.5+3} = { 1.5 ; 4.5 ; 4.5}теперь сами уравнения
A( -5 4 2) B (2 3 1) C (-3 -1 -3) AA1= (x+5)/4.5 = (y-4)/-3 = z-2 /-1 BB1= (x-2)/-6 = (y-3) /-1.5 =z-1/-1.5 CC1= (x+3)/1.5 =(y+1)/4.5 = (z+3)/4.5
(x+5)/4.5 = (y-4)/-3 = z-2 /-1 (x-2)/-6 = (y-3) /-1.5 =z-1/-1.5 (x+3)/1.5 =(y+1)/4.5 = (z+3)/4.5
{-3x-4.5y-13.5z= 6{x-4y-4z=10{3x-y-z =-7
Дано:
ABCD — прямоугольник,
AC ∩ BD=O,
∠AOD=φ.
Найти: ∠ACD.
Решение:
1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).
ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven
2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Тогда
\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]
\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]
(как угол при основании равнобедренного треугольника).
\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]
ответ: φ/2.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.
∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,
∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.
Задача 2. (обратная к задаче 1)
Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Угол при вершине равнобедренного треугольника
∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.
2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),
∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.
ответ: 2α.
Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.
1) Периметр
найдем длины всех сторон
АВ= √(2+5)^2+(3-4)^2+(1-2)^2 = √49+1+1=√51
BC= √(-3-2)^2+(-1-3)^2+(-3-1)^2 = √25+16+16 = √57
AC= √(-3+5)^2+(-1-4)^2+(-3-2)^2 = √4+25+25 = √54
P= √51+√57+√54
2) cosa =?
AB={7;-1;-1}
BC={-5;-4;-4}
cosa= ( 7*-5+1*4+1*4) / √51*57 = -27/√2907
3) BM медиана она будет серединой АС
AC/2 ={-3-5/2; -1+4/2 ; -3+2/2}= {-4 ; 3/2 ; -1/2 }
BM=√(2+4)^2+(3-3/2)^2+( 1+1/2)^2 = √40.5
4) средняя линия треугольника параллельна третей стороне и равна ее половине
то есть HM=BC/2 =√57/2
5) найдем уравнения медиан
назовем точки пересечения с сторонами ; A1.B1.C1 соотвественно
А1 -ВС
В1 -АС
C1 -AB
A1= {-3+2/2; -1+3/2 ; -3+1 /2} = {-1/2 ; 1; -1 }
B1= {-3-5/2; -1+4/2 ; -3+2/2 } = { -4; 3/2; -1/2 }
C1= { 2-5/2; 3+4/2 ; 1+2/2 } = {-3/2 ; 7/2 ; 3/2}
теперь направляющие вектора
АА1 = {-1/2 +5 ; 1-4; -1-2 } = {4.5 ; -3 ; -3 }
BB1 = {-4-2 ; 1.5-3 ; -0.5-1} = {-6 ;-1.5;-1.5 }
CC1= {-1.5+3; 3.5+1; 1.5+3} = { 1.5 ; 4.5 ; 4.5}
теперь сами уравнения
A( -5 4 2) B (2 3 1) C (-3 -1 -3)
AA1= (x+5)/4.5 = (y-4)/-3 = z-2 /-1
BB1= (x-2)/-6 = (y-3) /-1.5 =z-1/-1.5
CC1= (x+3)/1.5 =(y+1)/4.5 = (z+3)/4.5
(x+5)/4.5 = (y-4)/-3 = z-2 /-1
(x-2)/-6 = (y-3) /-1.5 =z-1/-1.5
(x+3)/1.5 =(y+1)/4.5 = (z+3)/4.5
{-3x-4.5y-13.5z= 6
{x-4y-4z=10
{3x-y-z =-7