Удивительно, я три раза решал эту задачу - и все три раза попал в ловушку. Неплохо там ребятки работают:)))))). Так вот, есть варианты удовлетворить условию: 1. Если треугольник АСК - просто зеркально отраженный треугольник АВС. Тогда угол АКС = угол АВС. 2. Если попытаться сделать угол САК равным углу АВС (который тупой, между прочим), то из подобия будет следовать, что угол КСА должен быть равен одному из углов АВС. Но углу ВСА он равен быть не может - тогда К лежит на СВ, что противоречит условию "KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B". Остается только угол АКС = угол ВСА. Занятно отметить, что обе точки лежат на одной прямой, то есть в обоих вариантах угол КСА один и тот же и равен углу ВАС. Осталось вычислить углы АВС и ВСА треугольника АВС. 1.угол АВС - тупой (!), косинус его отрицательный! cos(ABC) = (1+14-18)/(2*1*√14)) = -3/(2√14); 2.угол ВСА - острый cos(BCA) = (1 + 18 - 14)/(2*1*√18) = 5/(6√2); На чертеже показаны оба случая, как точки К1 и К2.
В параллелограмме АВСD треугольники АВС и АСD равны по трем сторонам (АВ=СD и ВС=АD как стороны параллелограмма, а сторона АС - общая). Итак, Sabc=Sacd. В треугольниках АВС и АСD ВМ и DМ - медианы (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам и АМ=МС). Но медианы делят треугольники на два равновеликих. Значит, Samb=Smbc=Samd=Scmd (так как равные треугольники АВС и АСD делятся также на два равных). Итак, площадь параллелограмма АВСD равна четырем площадям треугольника АМВ. Или, что одно и то же, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB. Что и требовалось доказать.
1. Если треугольник АСК - просто зеркально отраженный треугольник АВС. Тогда угол АКС = угол АВС.
2. Если попытаться сделать угол САК равным углу АВС (который тупой, между прочим), то из подобия будет следовать, что угол КСА должен быть равен одному из углов АВС. Но углу ВСА он равен быть не может - тогда К лежит на СВ, что противоречит условию "KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B". Остается только угол АКС = угол ВСА.
Занятно отметить, что обе точки лежат на одной прямой, то есть в обоих вариантах угол КСА один и тот же и равен углу ВАС.
Осталось вычислить углы АВС и ВСА треугольника АВС.
1.угол АВС - тупой (!), косинус его отрицательный!
cos(ABC) = (1+14-18)/(2*1*√14)) = -3/(2√14);
2.угол ВСА - острый
cos(BCA) = (1 + 18 - 14)/(2*1*√18) = 5/(6√2);
На чертеже показаны оба случая, как точки К1 и К2.
В треугольниках АВС и АСD ВМ и DМ - медианы (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам и АМ=МС).
Но медианы делят треугольники на два равновеликих. Значит, Samb=Smbc=Samd=Scmd (так как равные треугольники АВС и АСD делятся также на два равных).
Итак, площадь параллелограмма АВСD равна четырем площадям треугольника АМВ. Или, что одно и то же, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB. Что и требовалось доказать.