с геометрии задание в фотографии

Неожиданно полезная задача.

Я СПЕЦИАЛЬНО решаю без привлечения тригонометрических функций. Обозначим катеты треугольника y и z, а отрезки гипотенузы u и v. Высота делит треугольник на два ему подобных.

Тогда

u/v = v/x;

Из подобия

z/x = v/z; v = z^2/x;

y/x = u/y; u = y^2/x;

Подставляем

y^2/z^2 = z^2/x^2; y/z = z/x; y = z^2/x = (x^2 - y^2)/x;

Обозначим t = y/x (это, конечно же синус угла, противоположного катету y, но в данном случае это "высшее" знание:) не нужно для решения)

t = 1 - t^2; t^2 + t - 1 = 0; t1 = (корень(5) - 1)/2; второй отрицательный. (Что то мне подсказывает, что тут есть угол в 36 градусов :)) 

Итак,

y = x*(корень(5) - 1)/2;

вспоминаем, что z^2 = y*x, поэтому

z = x*корень((корень(5) - 1)/2);

Площадь равна (1/2)*y*z = (1/4)*x^2*(корень(5) - 1)*корень((корень(5) - 1)/2);

Ну, что поделаешь.

 

В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, угол C=90°, угол А=30°, BC=10. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Если боковые реба пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то вокруг основания можно описать окружность,  и основание высоты пирамиды находится в центре этой окружности.
Центр О описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит в середине его гипотенузы. 
Катет ВС=10, противолежит углу 30°, след. гипотенуза
АВ=2*10=20
Площадь боковой поверхности пирамиды - сумма площадей его граней,
площадь каждой из них найдем по формуле
S=ah.
Для грани, основанием которой является гипотенуза, высота равна 5. 
S Δ ADB=DO*AB:2=5*20:2=50
Для треугольника CDB высота
DK²=DO²+OK²
ОК=АС:2
АС=АВ*sin (60)=10√3
ОК=5√3
DK=√(25+ 75)=10
S ΔCDB=10*10:2=50
Для АDC высота
 DM²=DO²+OM²=√50=5√2
S ADC=AC*DM:2=25√6
Площадь боковой поверхности пирамиды
Sбок DАВС=S ADB+SCDB+S ADC=100+25√6