Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, сумма оснований равна 5+5=10, и отсюда большее основание равно 10-2=8 Опустив из вершины тупого угла высоту, отсечем от большего основания отрезок, равный полуразности оснований (трапеция равнобедренная). Он равен (8-2):2=3 Из получившегося прямоугольного треугольника: Гипотенуза = боковая сторона=5 Катет = полуразности оснований=3 найдем высоту (второй катет). Т.к. это явно египетский треугольник, высота равна 4. (можете проверить т. Пифагора) Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований: S=h(a+b):2 S=4*5=20
Ну, много, но задача эта совсем не сложная. Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны. Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC). То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях. Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так. А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD. Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1. Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать. Пусть a = √30; α = arccos(3/4); Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2); BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC; точно так же для треугольника BEB1 EH = BH*tg(60°) = x*√3; 2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат, 4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или 3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить. 3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) = = a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); = (подставляем числа) = 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8; R^2 = 520/8 = 65;
Следовательно, сумма оснований равна 5+5=10, и отсюда большее основание равно 10-2=8
Опустив из вершины тупого угла высоту, отсечем от большего основания отрезок, равный полуразности оснований (трапеция равнобедренная).
Он равен (8-2):2=3
Из получившегося прямоугольного треугольника:
Гипотенуза = боковая сторона=5
Катет = полуразности оснований=3
найдем высоту (второй катет).
Т.к. это явно египетский треугольник, высота равна 4. (можете проверить т. Пифагора)
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:
S=h(a+b):2
S=4*5=20
Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны.
Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC).
То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях.
Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так.
А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD.
Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1.
Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать.
Пусть a = √30; α = arccos(3/4);
Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2);
BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC;
точно так же для треугольника BEB1
EH = BH*tg(60°) = x*√3;
2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат,
4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или
3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить.
3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) =
= a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); =
(подставляем числа)
= 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8;
R^2 = 520/8 = 65;