Самостійна робота:
1) Трикутник АВF і трапеція АВСD (AB || CD) лежать у різних площинах.
Доведіть, що пряма СD паралельна площині АВF. ( )
2) Трикутник АВК і паралелограм АВСD лежать у різних площинах. Доведіть,
що пряма СD паралельна площині АВК. ( )
3) Дано куб АВСDА1B1С1D1. Доведіть, що пряма АС паралельна площині
А1С1D. ( )
4) У трикутній піраміді SАВС точки М. і N — середини ребер SА і SВ,
відповідно. Доведіть, що пряма МN паралельна площині АВС. ( )
5) Пряма а паралельна площині . Доведіть, що в площині існує пряма, яка
мимобіжна прямій а. ( )
6) Пряма а паралельна площині . Доведіть, що в площині існує пряма, яка
паралельна прямій а. ( )
7) Дано мимобіжні прямі а і b. Доведіть, що існує площина, яка містить пряму а
і паралельна прямій b. ( )
8) Дано паралельні прямі а і b. Доведіть, що існує площина, яка містить пряму а
і паралельна прямій b. ( )
Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из хорд, равны.
Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения.
АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12
Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В.
Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС
Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒
Треугольники АЕМ и ВЕС подобны
Из подобия следует отношение:
АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ
АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ
Так как АЕ=ВЕ, то
АЕ²=3*12=36
АЕ=√36=6,
АВ=2 АЕ=12 см
по теореме косинусов a²=b²+c²-2bccosA cosA=(b²+c²-a²)/2bc=804/924=67/77
sin²A=1-cos²A=1440/77²=36*40/77² sinA=4*√40/77
b²=a²+c²-2accosB cosB=(a²+c²-b²)/2ac=164/484=41/121 cosB=cos2*(B/2)
=cos²B/2-sin²B/2=1-2sin²(B/2) sin²B/2=(1-cosB)/2=40/121 sin(B/2)=√40/11
по теореме синусов:
BD/sinA=c/sinα=AD/sin(B/2)
BD/sinC=a/sin(180-α)=DC/sinB/2
берем вторые равенства и складываем sin(180-α)=sinα
(с+a)/sinα=(AD+DC)/sin(B/2)=b/sin(B/2)
sinα=(c+a)*sin(B/2)/b=33*√40/11*21=√40/7
по теореме синусов
с/sinα=BD/sinA
BD=c*sinA/sinα=22*4*√40*7/(77*√40)=8