Ромб ABCD симметричен относительно диагоналей AC, BD.
PM || BD || KH, PK||AC
(Если точки находятся по разные стороны от диагонали, то, очевидно, отрезок, соединяющий точки, пересекает диагональ и не может быть ей параллелен.)
1) Диагонали ромба перпендикулярны, AC⊥BD. Прямые, параллельные перпендикулярным, перпендикулярны*, PM⊥AC, KH⊥AC, PK⊥BD. Смежные стороны EPKT лежат на перпендикулярных прямых, EPKT - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны.
2) Стороны ромба равны, диагональ делит ромб на равнобедренные треугольники. Прямая, параллельная диагонали, отсекает подобный равнобедренный треугольник, PB=BK, MA=AP, KC=CH. Из равных длин вычитаем равные, AP=KC. Противоположные углы ромба равны, MA=AP=KC=CH => △MAP и △KCH равны по двум сторонам и углу между ними, PM=KH. MPKH - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны). PM||BD, PK⊥BD => PM⊥PK. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник.
____________________________________________________________
* Соответственные углы при параллельных равны. Если секущая пересекает одну параллельную под прямым углом, то и другую она пересекает под прямым углом.
1) Рассмотрим ∆ СDH ( угол CHD = 90° ) :
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равны 90° :
угол DCH + угол CDH = 90°
угол DCH = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ CDH - прямоугольный и равнобедренный
По теореме Пифагора:
CD² = CH² + HD²
2 CH² = 512
CH = HD = 16 cm
2) Рассмотрим ∆ ACH ( угол AHC = 90° ) :
По теореме Пифагора :
AC² = AH² + CH²
AH² = 20² - 16² = 144
AH = 12 cm =>
BC = AH = 12 cm
AB = CH = 16 cm
P abcd = 12 + 16 + 28 + 16√2 = 56 + 16√2 cm
S abcd = 1/2 × ( BC + AD ) × CH = 1/2 × 40 × 16 = 320 cm²
ОТВЕТ: 56 + 16√2 см ; 320 см²
Ромб ABCD симметричен относительно диагоналей AC, BD.
PM || BD || KH, PK||AC
(Если точки находятся по разные стороны от диагонали, то, очевидно, отрезок, соединяющий точки, пересекает диагональ и не может быть ей параллелен.)
1) Диагонали ромба перпендикулярны, AC⊥BD. Прямые, параллельные перпендикулярным, перпендикулярны*, PM⊥AC, KH⊥AC, PK⊥BD. Смежные стороны EPKT лежат на перпендикулярных прямых, EPKT - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны.
2) Стороны ромба равны, диагональ делит ромб на равнобедренные треугольники. Прямая, параллельная диагонали, отсекает подобный равнобедренный треугольник, PB=BK, MA=AP, KC=CH. Из равных длин вычитаем равные, AP=KC. Противоположные углы ромба равны, MA=AP=KC=CH => △MAP и △KCH равны по двум сторонам и углу между ними, PM=KH. MPKH - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны). PM||BD, PK⊥BD => PM⊥PK. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник.
____________________________________________________________
* Соответственные углы при параллельных равны. Если секущая пересекает одну параллельную под прямым углом, то и другую она пересекает под прямым углом.