СИРИУС Про треугольник ABC известно, что ∠A=46∘, ∠B=55∘. Точки P и Q вне треугольника ABC изогонально сопряжены. Известно, что ∠APB=120∘. Чему может быть равен ∠AQB?
Должно быть несколько ответов, 19 градусов точно правильный

По условию в основании находится равносторонний треугольник со стороной 12 см.
а) Проекция точки К на плоскость треугольника- это основание высоты КО. Длина проекции отрезка КВ на плоскость треугольника - это 2/3 высоты треугольника (по свойству биссектрис - а в равностороннем треугольнике высоты совпадают с медианами и биссектрисами) - это отрезок ОК.
ОК = (2/3)√(12²-(12/2)²) = (2/3)√(144-36) = (2/3)√108 = (2/3)*6√3 = 4√3.
б) Расстояние от точки К до вершин треугольника - это гипотенуза в прямоугольных треугольниках, где общий катет - высота Н = 4 см, а другие катеты - это 2/3 каждой высоты треугольника:
АК = ВК = СК = √(4² + (4√3)²) = √(16 + 48) = √64 = 8 см. 

1)Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним
Треугольник ABC 
Внешний угол, смежный с углом A = 160°
Найти углы не смежные с ним:
а)Пусть х - 1 часть, тогда угол В=3х, а угол С=5х
   3х+5х=160
   8х=160
   х=160/8
   х=20
   Угол В=3*20=60°
   Угол С=5*20=100°
б)Пусть х- угол С, тогда угол В = (3/5) х
   х+(3/5)х=160
   5х+3х=800
   8х=800
   х=100
   Угол С=100°
   Угол В=(3/5)*100=60°
в)Пусть х - Угол В, тогда Угол С = (х+20)°
   х+х+20=160
   2х=160-20
   2х=140
   х=140/2
   х=70
   Угол В=70°
   Угол С=70+20=90°
г)Составим систему уравнений с двумя переменными (х-1 угол, у-2 угол).
Решаем методом подстановки:
  х-у=40      х=40+у            х=40+у    х=40+у     х=40+60   х=100
  х+у=160   40+у+у=160     2у=120    у=60         у=60        у=60
  
ответ:а)60°, 100° б)100°, 60° в)70°, 90° г)100°, 60°
2)Т.к треугольник АВС равнобедренный, то углы при основании равны. 
Т.к смежный с одним из углов при основании угол равен  150°, то
Угол при основании = 180° - 150° = 30° (180° - сумма двух смежных углов)
ответ: 30°