Точка О2 - центр вписанной окружности в тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. Около тр-ка АВС опишем окружность. АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов. Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. ∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2. ∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине. Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный. КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности. Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности. Доказано.
Площадь боковой поверхности конуса определяется по формуле:
S = π*L*(R + r), где L - длина образующей, R и r - радиусы оснований.
Пусть (х) - коэффициент пропорциональности, обозначим радиус верхнего основания за (2х), радиус нижнего - за (5х).
Подставляем:
128π = π*8*(2х + 5х)
7х = 128π/8π
х = 16/7
Значит: r = 2x = 2 * 16/7 = 32 / 7
R = 5x = 5 * 16/7 = 80/7
Объём усеченного конуса вычисляется по формуле:
V=⅓πH(r²+R*r+R²)
Но для этого необходимо найти высоту усеченного конуса.
Осевое сечение данного усеченного конуса - равнобедренная трапеция.( верхнее основание равно 2r = 2*32/7 = 64/7, а нижнее - 2R = 2* 80/7 = 160/7) В ней малый отрезок, отрезок отсекаемый перпендикуляром (опущенным из вершины верхнего основания на нижнее основание) от большего основания, равен полуразности оснований (по свойству равнобедренной трапеции):
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К.
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают.
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.
V = 79872√(13) / 1029
r = 32 / 7
R = 80/7
Объяснение:
Площадь боковой поверхности конуса определяется по формуле:
S = π*L*(R + r), где L - длина образующей, R и r - радиусы оснований.
Пусть (х) - коэффициент пропорциональности, обозначим радиус верхнего основания за (2х), радиус нижнего - за (5х).
Подставляем:
128π = π*8*(2х + 5х)
7х = 128π/8π
х = 16/7
Значит: r = 2x = 2 * 16/7 = 32 / 7
R = 5x = 5 * 16/7 = 80/7
Объём усеченного конуса вычисляется по формуле:
V=⅓πH(r²+R*r+R²)
Но для этого необходимо найти высоту усеченного конуса.
Осевое сечение данного усеченного конуса - равнобедренная трапеция.( верхнее основание равно 2r = 2*32/7 = 64/7, а нижнее - 2R = 2* 80/7 = 160/7) В ней малый отрезок, отрезок отсекаемый перпендикуляром (опущенным из вершины верхнего основания на нижнее основание) от большего основания, равен полуразности оснований (по свойству равнобедренной трапеции):
(если обозначить этот отрезок, скажем, за "y")
у = [160/7 - 64/7] / 2 = 96 / 7*2 = 96/14 = 48/7
А высота (из теоремы Пифагора):
Н = √(L² - у²) = √(64 - 2304/49) = √(3136 - 2304) / 7 = √832 / 7 = 8/7 * √(13)
Подставим:
V=⅓*π*H*(r² + R*r + R²) = ⅓*π*8/7 * √(13)*( 1024 + 6400 + 2560) / 49 = 8π/1029 * √(13) * 9984 = 79872√(13) / 1029