АВ, АС и ВС - касательные к попарно касающимся окружностям радиуса r.
Отрезки AE=AG, CJ=CK, BF=BH как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Отрезки EF=GJ=KH= 2r как противоположные стороны прямоугольников, образованных радиусами окружностей, проведенных в точки касания и отрезками, соединяющими центры касающихся окружностей, равными сумме радиусов этих окружностей. Таким образом, треугольник АВС равносторонний, так как его стороны равны сумме равных отрезков.
Углы равностороннего треугольника равны 60°.
Рассмотрим треугольник АОЕ. Угол ЕАО = 30° (так как АО - биссектриса по свойству отрезка, соединяющего общую точку касательных к окружности с центром этой окружности). Катет против угла 30° равен половине гипотенузы => AO=2r => AE = r√3.
Итак, стороны треугольника АВС равны сумме отрезков, два из которых равны r√3 и один равен 2r. Следовательно, стороны искомого треугольника равны 2r(1+√3).
Доказательство: Назовем пирамиду МАВСD. МА=МВ=МС=МD=13, высота МО=12 и перпендикулярна основанию. Отрезки ОА=ОВ=ОС-ОD=5 ( отношения сторон из Пифагоровых троек). Треугольники МОА=МОВ=МОС=МОD по гипотенузе - (боковому ребру) и катету - высоте МО пирамиды. Поэтому равные диагонали основания - прямоугольника- являются диаметрами описанной около него окружности, а высота проецируется в центр прямоугольника, т.е в точку пересечения его диагоналей. Сторона прямоугольника 8 см оказалась для решения лишней.
Стороны искомого треугольника равны 2r(1+√3).
Объяснение:
АВ, АС и ВС - касательные к попарно касающимся окружностям радиуса r.
Отрезки AE=AG, CJ=CK, BF=BH как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Отрезки EF=GJ=KH= 2r как противоположные стороны прямоугольников, образованных радиусами окружностей, проведенных в точки касания и отрезками, соединяющими центры касающихся окружностей, равными сумме радиусов этих окружностей. Таким образом, треугольник АВС равносторонний, так как его стороны равны сумме равных отрезков.
Углы равностороннего треугольника равны 60°.
Рассмотрим треугольник АОЕ. Угол ЕАО = 30° (так как АО - биссектриса по свойству отрезка, соединяющего общую точку касательных к окружности с центром этой окружности). Катет против угла 30° равен половине гипотенузы => AO=2r => AE = r√3.
Итак, стороны треугольника АВС равны сумме отрезков, два из которых равны r√3 и один равен 2r. Следовательно, стороны искомого треугольника равны 2r(1+√3).
Доказательство: Назовем пирамиду МАВСD. МА=МВ=МС=МD=13, высота МО=12 и перпендикулярна основанию. Отрезки ОА=ОВ=ОС-ОD=5 ( отношения сторон из Пифагоровых троек). Треугольники МОА=МОВ=МОС=МОD по гипотенузе - (боковому ребру) и катету - высоте МО пирамиды. Поэтому равные диагонали основания - прямоугольника- являются диаметрами описанной около него окружности, а высота проецируется в центр прямоугольника, т.е в точку пересечения его диагоналей. Сторона прямоугольника 8 см оказалась для решения лишней.