Если мы теперь опустим перпендикуляр из точки D на СF (пусть это будет DN), то он отсечет отрезок DN = CF - DE - PF = 8 - 6 -1 = 1. Поэтому трапеция равнобедренная,углы при основаниях равны, искомый угол 60 градусов.
2. О - точка пересечения диагоналей. Считаем, что 3 - это рассточние от О до вершин меньшего основания, а 5 - до вершин большего, и обе диагонали равны 8. (Если это не так, и диагонали равны 6 и 10, то это будет параллелограм, тоже вобщем трапеция... Но в этом случае задачу решить нельзя! попробуте доказать :
Среднюю линюю легко найти, если продить MQ и провести линию II NQ через P до пересечения с МQ (ну, с продолжением), пусть точка пересечения Т.
Ясно, что РТ = NQ, QT = NP, то есть в треугольнике PTM такая же средняя линяя как и в трапеции. Но этот треугольник равноберенный, да еще и с углом 60 градусов при основании, то есть равносторонний. Поэтому MQ = PM = PT = 5 + 3 = 8, а средняя линяя равна 4.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
1.Пусть ЕР перпендикулярно CF. FP = EF*cos(180-120) = (1/2)*EF = 1.
Если мы теперь опустим перпендикуляр из точки D на СF (пусть это будет DN), то он отсечет отрезок DN = CF - DE - PF = 8 - 6 -1 = 1. Поэтому трапеция равнобедренная,углы при основаниях равны, искомый угол 60 градусов.
2. О - точка пересечения диагоналей. Считаем, что 3 - это рассточние от О до вершин меньшего основания, а 5 - до вершин большего, и обе диагонали равны 8. (Если это не так, и диагонали равны 6 и 10, то это будет параллелограм, тоже вобщем трапеция... Но в этом случае задачу решить нельзя! попробуте доказать :
Среднюю линюю легко найти, если продить MQ и провести линию II NQ через P до пересечения с МQ (ну, с продолжением), пусть точка пересечения Т.
Ясно, что РТ = NQ, QT = NP, то есть в треугольнике PTM такая же средняя линяя как и в трапеции. Но этот треугольник равноберенный, да еще и с углом 60 градусов при основании, то есть равносторонний. Поэтому MQ = PM = PT = 5 + 3 = 8, а средняя линяя равна 4.
А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см