2у + 3х = 1 Сложим и получим 4у = 8 у = 2 х = - 1.
О(-1; 2) - центр гиперболы. Каноническое уравнение скорректируется:
(х+1)^2 / a^2 - (y-2)^2 /b^2 = 1.
Найдем а^2 и b^2.
Уравнение данного эллипса:
x^2 /3 + y^2 /7 = 1
Эллипс вытянут вдоль оси У и фокусы расположены на оси У на расстоянии:
Кор(7-3) = 2 от начала координат. Берем верхний фокус (0; 2), видим что он расположен на одном расстоянии от оси Х, как и центр гиперболы.
Пусть (0; 2) - правый фокус гиперболы. Расстояние до центра гиперболы равно 1.
a^2 + b^2 = 1
Еще одно уравнение для а и b получим из углового коэффициента асимптот. b/a = 3/2 ( 3/2 получится если в уравнении асимптоты выразить у через х). Итак имеем систему:
a^2 + b^2 = 1 13a^2/4 = 1 a^2 = 4/13
b/a = 3/2 b = 3a/2 b^2 = 9/13
Уравнение гиперболы:
13(x+1)^2 /4 - 13(y-2)^2 /9 = 1
б) Левый фокус гиперболы находится в т.(-2; 2), правый фокус -
в т. (0; 2).
Значит вершина параболы смещена на 2 относительно начала координат по оси У. Каноническое уравнение будет иметь вид:
В дальнейшем пригодится скалярное произведение p"q" = |p"|*|q"|*cosa =
= 1*3*(-2/3) = - 2.
Пригодится и иллюстрация: p" и q" образуют тупой угол, cos которого равен (-2/3). Достроив до параллелограмма, соседний ( острый) угол имеет cos, равный 2/3. Теперь из геометрических соображений можно посчитать модули векторов a" и b".
а) Найдем точку пересечения асимптот: (центр гиперболы)
2у - 3х = 7
2у + 3х = 1 Сложим и получим 4у = 8 у = 2 х = - 1.
О(-1; 2) - центр гиперболы. Каноническое уравнение скорректируется:
(х+1)^2 / a^2 - (y-2)^2 /b^2 = 1.
Найдем а^2 и b^2.
Уравнение данного эллипса:
x^2 /3 + y^2 /7 = 1
Эллипс вытянут вдоль оси У и фокусы расположены на оси У на расстоянии:
Кор(7-3) = 2 от начала координат. Берем верхний фокус (0; 2), видим что он расположен на одном расстоянии от оси Х, как и центр гиперболы.
Пусть (0; 2) - правый фокус гиперболы. Расстояние до центра гиперболы равно 1.
a^2 + b^2 = 1
Еще одно уравнение для а и b получим из углового коэффициента асимптот. b/a = 3/2 ( 3/2 получится если в уравнении асимптоты выразить у через х). Итак имеем систему:
a^2 + b^2 = 1 13a^2/4 = 1 a^2 = 4/13
b/a = 3/2 b = 3a/2 b^2 = 9/13
Уравнение гиперболы:
13(x+1)^2 /4 - 13(y-2)^2 /9 = 1
б) Левый фокус гиперболы находится в т.(-2; 2), правый фокус -
в т. (0; 2).
Значит вершина параболы смещена на 2 относительно начала координат по оси У. Каноническое уравнение будет иметь вид:
(y-2)^2 = -2px (ветви влево!)
F = p/2 = 2 Отсюда p = 4
(y-2)^2 = -4x
В дальнейшем пригодится скалярное произведение p"q" = |p"|*|q"|*cosa =
= 1*3*(-2/3) = - 2.
Пригодится и иллюстрация: p" и q" образуют тупой угол, cos которого равен (-2/3). Достроив до параллелограмма, соседний ( острый) угол имеет cos, равный 2/3. Теперь из геометрических соображений можно посчитать модули векторов a" и b".
Используя теорему косинусов: (для модулей)
a^2 = (3p)^2 + q^2 + 2*3p*q*2/3 = 9 + 9 + 12 = 30, |a| = кор30.
b^2 = (xp)^2 + (2q)^2 - 2*xp*2q*2/3 = x^2 - 8x + 36. |b| = кор(x^2 - 8x + 36)
Теперь мы подготовлены, чтобы составить скалярное произведение векторов a" и b".
a"b" = (3p-q)(xp+2q) = 3xp^2 - 2q^2 + qp(6-x) = 3x - 18 -2(6-x) = 5x - 30. (1)
С другой стороны:
a"b" = |a"|*|b"|*cos(arccos((-11кор3030)/606))=
= ( кор30)*кор(x^2 - 8x + 36)*(-11кор3030)/606) (2)
Приравняв (1) и (2), получим:
(х-6)/(кор(x^2-8x+36)) = (-11) / (кор101). Видим, что х < 6
Перемножаем по диагонали пропорцию, возводим в квадрат и приводим подобные члены:
5x^2 + 61x + 180 = 0, D = 121
x1 = (-61+11)/10 = -5,
x2 = (-61-11)/10 = -7,2
ответ: -7,2; -5.
б) Наверное надо вычислить скалярное произведение: (хотя может и нет)
(2b-a)(2a-b) = - 2b^2 - 2a^2 + 5 ab
Воспользуемся итогами предыдущего пункта:
a^2 = 30
b^2 = x^2 - 8x + 36 = 101 (при х = -5)
ab = (a"b") = 5x-30 = -55
Тогда получим:
(2b-a)(2a-b) =- 202 - 60 - 275 = -537