Даны вершины треугольника А(5;-3;-1), В(5;-5;-1) и С(4;-3;0). Найти медиану СД и периметр треугольника АВС. Найдем модули векторов АВ, ВС, и СD. Для этого находим координаты этих векторов, как разность координат КОНЦА и НАЧАЛА вектора: АВ{0;-2;0}, ВС{-1;2;1}, CA{-1;0;1}. Теперь находим модули векторов по формуле: |a|=√(x²+y²+z²): |AB|= 2, |BC|= √6 и |CA|= √2. Таким образом, периметр треугольника равен: 2+√6+√2. Медиана CD - это вектор CD, начало которого - точка С, а конец - середина вектора АВ. Координаты середины вектора АВ равны полусумме координат начала и конца вектора: D{5;-4;-1}. Вектор CD и его модуль еаходим по формулам, приведенным выше: Вектор CD{1;-1;-1}. Модуль вектора |CD|=√3. ответ* медиана CD = √3, Периметр треугольника АВС=2+√6+√2. P.S. Проверьте арифметику.
Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Найдем модули векторов АВ, ВС, и СD.
Для этого находим координаты этих векторов, как разность координат КОНЦА и НАЧАЛА вектора:
АВ{0;-2;0}, ВС{-1;2;1}, CA{-1;0;1}.
Теперь находим модули векторов по формуле: |a|=√(x²+y²+z²):
|AB|= 2, |BC|= √6 и |CA|= √2.
Таким образом, периметр треугольника равен: 2+√6+√2.
Медиана CD - это вектор CD, начало которого - точка С, а конец - середина вектора АВ. Координаты середины вектора АВ равны полусумме координат начала и конца вектора: D{5;-4;-1}.
Вектор CD и его модуль еаходим по формулам, приведенным выше:
Вектор CD{1;-1;-1}. Модуль вектора |CD|=√3.
ответ* медиана CD = √3, Периметр треугольника АВС=2+√6+√2.
P.S. Проверьте арифметику.
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.