В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.
Дано: АВСD - выпуклый четырехугольник;
∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦;
ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно;
М ∈ CD;
Доказать: М - середина CD.
Доказательство:
Продолжим стороны ВС и АD до пересечения. Поставим точку К.
Соединим К и М.
1. Рассмотрим ΔАВК.
ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно. (условие)
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.
⇒ КМ - биссектриса ∠К.
2. Рассмотрим ΔDCK.
Сумма смежных углов равна 180°.
⇒ ∠DCK = 180° - ∠BCD
∠CDK = 180° - ∠CDA
∠BCD = ∠CDA (условие)
⇒ ∠DCK = ∠CDK
Если в треугольнике два равных угла, то этот треугольник равнобедренный.
⇒ ΔDCK - равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой.
Доказали, что точка М - середина CD.
Объяснение:
В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.
Дано: АВСD - выпуклый четырехугольник;
∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦;
ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно;
М ∈ CD;
Доказать: М - середина CD.
Доказательство:
Продолжим стороны ВС и АD до пересечения. Поставим точку К.
Соединим К и М.
1. Рассмотрим ΔАВК.
ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно. (условие)
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.⇒ КМ - биссектриса ∠К.
2. Рассмотрим ΔDCK.
Сумма смежных углов равна 180°.⇒ ∠DCK = 180° - ∠BCD
∠CDK = 180° - ∠CDA
∠BCD = ∠CDA (условие)
⇒ ∠DCK = ∠CDK
Если в треугольнике два равных угла, то этот треугольник равнобедренный.⇒ ΔDCK - равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой.⇒ СМ = MD.
Доказали, что точка М - середина CD.
***
МО - высота, которая равна √3
MA - ребро правильного тетраэдра
АО = MA√3/3
(как радиус окружности, описанной около правильного треугольника)
из прям. треугольника AОМ по теореме Пифагора:
(в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов)
c² = a² + b²
MA² = MO² + (MA√3/3)²
MA² = MO² + MA²/3
2MA²/3 = MO²
MA² = 3MO²/2
MA² = (3 · 3)/2 = 9/2 = 4.5 ед.
площадь боковой поверхности тетраэдра будет равна трем площадям треугольников,
и поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию
SΔ = ah = AO · MO
S = MA√3/3 · √3 = 1 · 4,5 = 4.5 кв. ед.
⇔
S (б.п) = 3 · 1/2ah = 3 · 4,5 = 13,5 кв. ед.
ответ: площадь боковой поверхности правильного тетраэдра равна
13,5 кв. ед.