Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.
Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;
В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).
z^2*(z + t) = 4*t;
здесь по условию t = 1/3;
z^2*(z + 1/3) = 4/3;
Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.
(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)
Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)
1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево", и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).
2). Есть и другой, не менее изящный геометрический решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)
В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.
(Можно и "дедовскими Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)
Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника.
А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким Только алгебраически. Если вам скажут, что такой есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных я рецептов не даю :))
Решить задачу очень просто, если знать одно правило: площади подобных фигур относятся, как КВАДРАТЫ их подобных линейных элементов, это могут быть стороны, высоты, медианы, диагонали, да вообще любые отрезки, лишь бы они соответствовали друг другу, были бы "те же самые".
В нашем случае, конечно же, отсекается подобный треугольник, поэтому отношение КВАДРАТОВ соответстующих элементов будет равно отношению площадей. Вот и всё!
Отношение площадей 2.
Отношение квадратов сторон, тоже 2, то есть
10^2 / a^2 =2, откуда a^2=50.
Вот и всё! Сама сторона будет, конечно 5*sqr(2)
Да. То, что я сказал, легко доказывается, попробуй сам(а). Отсюда, кстати, следует, что отношение площади круга к КВАДРАТУ его радиуса величина постоянная для ВСЕХ кругов(Ведь все окружности одинаковые, подобные). Его-то и назвали Пи по первой букве известного греческого слова(от него, тоже кстати, пошло слово периметр, почему и известное).
Извини, что решение привёл на русском, а не на украинском языке. Так оно будет доступно и для людей, не знающих украинский язык, ну а ты разберёшься.
Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.
Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;
В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).
z^2*(z + t) = 4*t;
здесь по условию t = 1/3;
z^2*(z + 1/3) = 4/3;
Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.
(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)
Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)
1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево", и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).
2). Есть и другой, не менее изящный геометрический решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)
В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.
(Можно и "дедовскими Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)
Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника.
А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким Только алгебраически. Если вам скажут, что такой есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных я рецептов не даю :))
Решить задачу очень просто, если знать одно правило: площади подобных фигур относятся, как КВАДРАТЫ их подобных линейных элементов, это могут быть стороны, высоты, медианы, диагонали, да вообще любые отрезки, лишь бы они соответствовали друг другу, были бы "те же самые".
В нашем случае, конечно же, отсекается подобный треугольник, поэтому отношение КВАДРАТОВ соответстующих элементов будет равно отношению площадей. Вот и всё!
Отношение площадей 2.
Отношение квадратов сторон, тоже 2, то есть
10^2 / a^2 =2, откуда a^2=50.
Вот и всё! Сама сторона будет, конечно 5*sqr(2)
Да. То, что я сказал, легко доказывается, попробуй сам(а). Отсюда, кстати, следует, что отношение площади круга к КВАДРАТУ его радиуса величина постоянная для ВСЕХ кругов(Ведь все окружности одинаковые, подобные). Его-то и назвали Пи по первой букве известного греческого слова(от него, тоже кстати, пошло слово периметр, почему и известное).
Извини, что решение привёл на русском, а не на украинском языке. Так оно будет доступно и для людей, не знающих украинский язык, ну а ты разберёшься.