Список вопросов. 1. основные простейшие фигуры на плоскости. 2. сколько прямых можно провести через две точки? 3. определение пересекающихся прямых. 4. определение отрезка, его обозначение. 5. определение угла, его обозначения. 6. определение развернутого, прямого, тупого и острого угла. 7. определение середины отрезка. 8. определение биссектрисы угла. 9. единицы измерения отрезка и связь между ними. 10. определение смежных углов и их свойство. 11. определение вертикальных углов и их свойство. 12. определение треугольника. 13. определение периметра треугольника и его обозначение. 14. определение равных треугольников. 15. три признака равенства треугольников. 16. определение перпендикулярных прямых. 17. определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. виды треугольников по углам. 19. виды треугольников по сторонам. 20. определение равнобедренного треугольника. 21. определение равностороннего треугольника. 22. два свойства равнобедренного треугольника. 23. два признака равнобедренного треугольника. 24. определение прямоугольного треугольника. 25. пять признаков равенства треугольников. 26. три свойства прямоугольных треугольников. 27. теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. 28. определение внешнего угла и его свойство. 29. определение параллельных прямых. 30. аксиома параллельных прямых. 31. три свойства параллельных прямых. 32. четыре признака параллельных прямых. 33. определение окружности. 34. определение центра, радиуса, хорды, диаметра и дуги. 35. три свойства окружности.
Построение на рисунке.
Объяснение:
1. Сумма двух векторов: начало второго вектора совмещается с концом первого, сумма же этих векторов есть вектор с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом 2-го.
Разделим вектор CB на 3 равные части. Для этого проведем из точки С луч "n" и отложим на нем циркулем 3 РАВНЫХ отрезка произвольной длины. Конец B' третьего отрезка соединим с точкой В, а из концов первого и второго отрезка проведем прямые, параллельные прямой BB'. Эти прямые и разделят вектор СВ на три равные части (теорема Фалеса).
Тогда вектор СЕ = (2/3)*СВ. Из конца Е вектора СЕ проведем прямую, параллельно CD. Эта прямая пересечет сторону CD в точке F. Вектор EF равен вектору CD. Тогда вектор CF = CE+EF или
CF = (2/3)*CB + CD, что и необходимо было построить.
2. Для получения вектора разности двух векторов (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом - конец вектора (a) (уменьшаемое). Тогда вектор разности векторов ВА и ВС есть вектор СА.
Разделим вектор СА на 4 равных части указанным выше используя луч СA' (добавив к 3 полученным ранее равным отрезкам четвертый BA').
Тогда вектор CG = (1/4)*СА = (1/4)*(ВА - ВС), что и необходимо было построить.
Нам даны соотношения сторон тетраэдра:
AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.