Срешением ис 1. диагонали прямоугольника авсd пересекаются в точке о. найдите угол между диагоналями, если аво = 30°.

2. в параллелограмме kмnp проведена биссектриса угла мkр, которая пересекает сторону mn в точке е.

а) докажите, что треугольник kме равнобедренный.

б) найдите сторону kр, если ме = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

1.

Так как 2 внешних угла треугольника ABC друг другу равны(<CBM == <ACF), то вторая пара соседних вертикальных внешних углов тоже равна (<ABC == <ACB (рис.1)).

<ABC == <ACB => AC == AB.

P = 34 =>

P = 2x+12

P = 11+11+12 => AC == AB = 11.

Вывод: AB = 11.

2.

<ABC = 50° => <CBD = 180-50 = 130°

BC == BD => <BCD == <BDC (рис.2)

Так как углы равны, то каждый из них равен:

<BCD = (180-130)/2 = 25° => <BCD == <BDC = 25°

<ACB = 60°; <BCD = 25° => <ACD = 25+60 = 85°.

Вывод: <ACD = 85°.

5.

Чтобы сравнить стороны треугольника, надо сравнить углы, противоположные этим сторонам: <B = 70°; <C = 60° => <A = 180-(70+60) = 50°.

Самый маленький угол — <A. Ему противолежащая сторона — BC, которая самая маленькая, тоесть: BC < AB < AC (рис. 3).

Средний угол — <C = 60° ему противолежащая сторона — AB, тоесть: AB > BC < AC

Самый большой угол — <B = 70°, ему противолежащая сторона — AC, тоесть: AC > AB > BC.

6.

<B = 27° => <A = 90-27 = 63°

CK — биссектриса => <KCB == <ACK = 90/2 = 45°

<ADC = 90°; <A = 63° => <ACD = 90-63 = 27°

<ACD = 27° => <DCK = <ACK - <ACD = 45-27 = 18°

Вывод: <DCK = 18°.

5. Могут, если этот угол прямой (рис. 1).

6. 180° · 3 = 540° (решение аналогично задаче в самом верху страницы учебника, только треугольников будет 3, а не 2; рис. 2).

7. Проведем отрезок BC (рис. 3). В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180°.

Тогда для треугольника KBC верно равенство:

∠KBC + ∠KCB + 120° = 180°

∠KBC + ∠KCB = 180° – 120° = 60°.

Для треугольника ABC:

(2x + ∠KBC) + (3x + ∠KCB) + 5x = 180°

(2x + 3x + 5x) + (∠KBC + ∠KCB) = 180°

10x + 60° = 180°

10x = 120°

x = 12°

2x = 24°; 3x = 36°; 5x = 60°