При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,
AK = AB sin ß = b sin β BK = AB cos β = b cos β SABK = AK * BK / 2 = b2sin β cos β / 2
откуда SABС = 2SABK = b2sin β cos β (примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше)
Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α) = 1/2 b2sin α
Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна: h = r / sin φ
Длину радиуса вписанной окружности найдем как r = S/p
Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β откуда p = ( b + b + 2b cos β ) / 2 p = ( 2b + 2b cos β ) / 2 p = 2b ( 1 + cos β ) / 2 p = b ( 1 + cos β )
Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен r = S / p r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )
Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что l / r = cos φ, то l = r cos φ
Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: S1 = lb / 2 S1 = r cos φ * b / 2 S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2 S1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2 S1 = b2 sin β cos β cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )
Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: S2 = BC * l / 2 S2 = 2b cos β * r cos φ / 2 S2 = b cos β * r cos φ S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ S2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Площадь боковой поверхности пирамиды равна: Sбок = 2S1 + S2 Sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) Sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) Sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β ) Sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1 + cos β ) / ( 1 + cos β ) Sбок = b2 sin β cos β cos φ
Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: S = Sбок + Sосн S = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.
свойство смежных углов:
· сумма смежных углов равна 180 градусам.
вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.
свойство вертикальных углов:
· вертикальные углы равны.
перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.
перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.
теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.
треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.
виды треугольников:
· остроугольный треугольник – все три угла острые;
· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;
· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.
равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.
свойства равных треугольников:
· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;
· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.
признаки равенства треугольников:
1. если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.
медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.
высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.
равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.
свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании равны;
· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
свойства равностороннего треугольника:
· углы равны по 60 градусов;
· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.
параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.
виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:
· накрест-лежащие;
· соответственные;
· односторонние.
свойства параллельных прямых:
· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.
признаки параллельности прямых:
· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.
следствия из аксиомы:
· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;
· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.
теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
свойство внешнего угла треугольника:
· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот, напротив большего угла лежит большая сторона.
теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.
свойства прямоугольного треугольника:
· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;
· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;
· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.
При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,
AK = AB sin ß = b sin β
BK = AB cos β = b cos β
SABK = AK * BK / 2 = b2sin β cos β / 2
откуда
SABС = 2SABK = b2sin β cos β
(примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше)
Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то
b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β
или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника)
1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α) = 1/2 b2sin α
Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна:
h = r / sin φ
Длину радиуса вписанной окружности найдем как
r = S/p
Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β
откуда
p = ( b + b + 2b cos β ) / 2
p = ( 2b + 2b cos β ) / 2
p = 2b ( 1 + cos β ) / 2
p = b ( 1 + cos β )
Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен
r = S / p
r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )
Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что
l / r = cos φ, то
l = r cos φ
Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна:
S1 = lb / 2
S1 = r cos φ * b / 2
S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2
S1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2
S1 = b2 sin β cos β cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )
Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна:
S2 = BC * l / 2
S2 = 2b cos β * r cos φ / 2
S2 = b cos β * r cos φ
S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ
S2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = 2S1 + S2
Sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β )
Sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1 + cos β ) / ( 1 + cos β )
Sбок = b2 sin β cos β cos φ
Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит:
S = Sбок + Sосн
S = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
· острый угол – от 0 до 90 градусов;
· прямой угол – равен 90 градусам;
· тупой угол – от 90 до 180 градусов;
· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.
смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.
свойство смежных углов:
· сумма смежных углов равна 180 градусам.
вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.
свойство вертикальных углов:
· вертикальные углы равны.
перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.
перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.
теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.
треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.
виды треугольников:
· остроугольный треугольник – все три угла острые;
· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;
· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.
равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.
свойства равных треугольников:
· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;
· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.
признаки равенства треугольников:
1. если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.
медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.
высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.
равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.
свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании равны;
· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
свойства равностороннего треугольника:
· углы равны по 60 градусов;
· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.
параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.
секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.
виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:
· накрест-лежащие;
· соответственные;
· односторонние.
свойства параллельных прямых:
· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.
признаки параллельности прямых:
· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.
следствия из аксиомы:
· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;
· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.
теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
свойство внешнего угла треугольника:
· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот, напротив большего угла лежит большая сторона.
теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.
свойства прямоугольного треугольника:
· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;
· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;
· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.
признаки равенства прямоугольных треугольников: