Сторона квадрата равна a. в данный квадрат вписан квадрат таким образом, что его вершины делят сторону данного квадрата в отношении 4 : 5.

1. Раз BAD = 90 градусов и ABD = 45 градусов, то оставшийся угол ADB= 180-90-45=45 градусов.
2. Судя по этим углам, можно заключить, что AD = AB, а раз AB = AC = BC, то AD = AB = BC = AC.
3. Раз в треугольнике AD = AC, то и угол ADC = угол ACD.
4. В треугольнике ABC угол A = угол B = угол C = 180/3 = 60 градусов.
5. В треугольнике ACD, как и всегда, сумма углов = 180 градусов. Но раз там угол D = угол C, то возьмём один из них за х. Получается, что х+х+90(угол DAB)+60(угол BAC) = 180.
180-90-60=2х
30=2х
х=15 градусов = угол ACD = ADC.
6. Угол D, как было указано в пункте №1, равен 45 градусам. Этот угол состоит из угла ADC (15 градусов) и угла CDB (который нам и надо найти). Получается, что:
45=15+CDB
CDB = 30 градусов

ответ: Кількість сторін многокутника буде рівна 4. (n=4);

Площа круга вписаного у многокутник( а це квадрат) буде

рівна 64π см².

Объяснение: Кількість сторін многокутника знаходим із формули:

R=a/(2sin(180°/n)), де R=8√2 cм - радіус кола описаного навколо многокутника;

a=16 см - сторона многокутника;

n - кількість сторін многокутника;

8√2=16/(2sin(180°/n)); → 8√2=8/(sin(180°/n)); → √2=1/(sin(180°/n));

→ sin(180°/n) = 1/√2 =√2/2; → (180°/n)=45°; → n=180°/45° =4.

(sin45°=√2/2, тому sin(180°/n)=sin45°, → (180°/n)=45°

Площа вписаного круга: S=πr²;

r- радіус вписаного круга;

Оскільки многокутник являється квадратом то радіус круга буде рівний: r=a/2=16/2= 8 cм;

S=πr²=8²π=64π см².