Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 8, апофема SM равна 5. Найдите длину отрезка SO, если O – точка пересечения диагоналей основания и объём пирамиды
Поместим заданные точки в прямоугольную систему координат Точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.
А(0;0;0), S(0; 0; 4), С(8;8;0), О(0; 4; 0).
Определяем уравнение плоскости ASC по трём точкам.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем в виде Ax + By + Cz + D = 0:
32x - 32y + 0z + 0 = 0, или, сократив на 32: х - у = 0. А = 1, В = -1.
Переходим к вектору SO.
Его координаты: (0-0=0; 4-0=4; 0-4 = -4). SO(0; 4; -4).
Находим скалярное произведение SO на ASC: 0*1 + 4*(-1) + 0*(-4) = -4.
Определение: Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. Проведем прямую ОР, параллельную диагонали ВD. ОР перпендикулярна АС, значит OР - проекция наклонной SО на плоскость АSС (плоскость РSС перпендикулярна плоскости АВСD). Тогда искомыё угол - это угол OSP по определению.
АВ = ВС = 8 см, как стороны квадрата. => DВ = 8√2см (как диагональ квадрата). КВ = 4√2 см. Треугольники АКВ и АРО подобны (РО параллельна ВD по построению).
Поместим заданные точки в прямоугольную систему координат Точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.
А(0;0;0), S(0; 0; 4), С(8;8;0), О(0; 4; 0).
Определяем уравнение плоскости ASC по трём точкам.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем в виде Ax + By + Cz + D = 0:
32x - 32y + 0z + 0 = 0, или, сократив на 32: х - у = 0. А = 1, В = -1.
Переходим к вектору SO.
Его координаты: (0-0=0; 4-0=4; 0-4 = -4). SO(0; 4; -4).
Находим скалярное произведение SO на ASC: 0*1 + 4*(-1) + 0*(-4) = -4.
Длины векторов: |SO| = √(0² + 4² + (-4)²) = √32 = 4√2.
Нормального вектора плоскости |ASC| = √(1² + (-1)² + (0)²) = √2.
Теперь можно перейти к ответу.
sina = |-4|/(4√2*√2) = 1/2. а = 30 градусов.
ответ: угол между прямой SO и плоскостью ASC равен 30°.
Искомый угол равен 30°.
Объяснение:
Определение: Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. Проведем прямую ОР, параллельную диагонали ВD. ОР перпендикулярна АС, значит OР - проекция наклонной SО на плоскость АSС (плоскость РSС перпендикулярна плоскости АВСD). Тогда искомыё угол - это угол OSP по определению.
АВ = ВС = 8 см, как стороны квадрата. => DВ = 8√2см (как диагональ квадрата). КВ = 4√2 см. Треугольники АКВ и АРО подобны (РО параллельна ВD по построению).
Коэффициент подобия k = АО/АВ = 4/8 = 1/2.
ОР = (1/2)* КВ = 2√2 см.
SО = √(SA² +АO²) = √(4² +4²) = 4√2см.
Из прямоугольного треугольника OSP:
Sin(<OSP) = OР/SO = 2√2/ 4√2 =1/2.
ответ: <OSP = arcsin(1/2) = 30°.