Сторона равностороннего треугольника равна 2 /3 м. Вычисли: 1. площадь треугольника; 2. радиус окружности, вписанной в треугольник; 3. радиус окружности, описанной около треугольника. 1. S 3 м2, = M.
Поскольку грани наклонены к основанию под одинаковыми углами, это значит, что каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник.
Двугранный угол наклона боковой грани к плоскости основания (это тот, который равен 60гр.) измеряется градусной мерой угла между апофемой (срединным перпендикуляром,опущенным в плоскости боковой грани от вершины пирамиды на сторону основания) и срединным перпендикуляром, проведённым в плоскости основания из центра окружности, вписанной в это треугольное основание, к той же стороне, что и апофема.
Найдём радиус r вписанной в основание окружности: r = sqrt [(p-a)(p-b)(p-c)/p].
Полупериметр основания: р = (12 + 16 + 20)/2 = 24
r = sqrt [(24-12)(24-16)(24-20)/24] = 4
Длина апофемы А = r / cos 60 = 4 / 0.5 = 8
Высота пирамиды Н = A * sin 60 = 8 * sqrt(3)/2 = 4 * sqrt(3).
r относится к радиусу цилиндра, вписанного в сечение пирамиды (r1 = 3), как высота пирамиды H относится к разности высоты пирамиды H и высоты цилиндра h1.
вчера я делал похожую задачу, посмотрите там принцип построения сечения. .см также рисунок.
задача сводится к определению угла между боковой стороной и медианой к ней в равнобедренном треугольнике с основанием 1 и боковыми сторонами корень(3)/2.
для медианы к боковой стороне в равнобедренном треугольнике легко выводится соотношение
по теореме косинусов для МPK
b^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(P); P - угол при основании МKP.
Само собой, под а и b понимаются основание и боковая сторона.
выражение для 2*PN получается из теоремы косинусов, если продолжить её за основание на свою длину и т.д... вобщем, достроить КРМ до параллелограмма и взять треугольник со сторонами 2*PN, a, b и углом (180 - P)
Найдём сначала гипотенузу основания: с^2 = a^2 + b^2 = 12^2 +16^2 = 144 + 256 = 400, тогла с = 20.
Поскольку грани наклонены к основанию под одинаковыми углами, это значит, что каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник.
Двугранный угол наклона боковой грани к плоскости основания (это тот, который равен 60гр.) измеряется градусной мерой угла между апофемой (срединным перпендикуляром,опущенным в плоскости боковой грани от вершины пирамиды на сторону основания) и срединным перпендикуляром, проведённым в плоскости основания из центра окружности, вписанной в это треугольное основание, к той же стороне, что и апофема.
Найдём радиус r вписанной в основание окружности: r = sqrt [(p-a)(p-b)(p-c)/p].
Полупериметр основания: р = (12 + 16 + 20)/2 = 24
r = sqrt [(24-12)(24-16)(24-20)/24] = 4
Длина апофемы А = r / cos 60 = 4 / 0.5 = 8
Высота пирамиды Н = A * sin 60 = 8 * sqrt(3)/2 = 4 * sqrt(3).
r относится к радиусу цилиндра, вписанного в сечение пирамиды (r1 = 3), как высота пирамиды H относится к разности высоты пирамиды H и высоты цилиндра h1.
r/r1 = H/(H -h1), отсюда h1 = Н(r-r1)/r = (4 * sqrt(3) )* 1 / 4 = sqrt(3)
Обьём цилиндра равен V = pi * r1^2 * h1 = pi * 9 * sqrt(3) = 9pi* sqrt(3)
вчера я делал похожую задачу, посмотрите там принцип построения сечения. .см также рисунок.
задача сводится к определению угла между боковой стороной и медианой к ней в равнобедренном треугольнике с основанием 1 и боковыми сторонами корень(3)/2.
для медианы к боковой стороне в равнобедренном треугольнике легко выводится соотношение
по теореме косинусов для МPK
b^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(P); P - угол при основании МKP.
для медианы (2*PN)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(K) = 2*a^2 + b^2;
Само собой, под а и b понимаются основание и боковая сторона.
выражение для 2*PN получается из теоремы косинусов, если продолжить её за основание на свою длину и т.д... вобщем, достроить КРМ до параллелограмма и взять треугольник со сторонами 2*PN, a, b и углом (180 - P)
Отсюда PN = корень(11)/4;
Осталось вычислить cos(Ф), где Ф = угол РNM.
1 = 11/16 + 3/16 - cos(Ф)*2*корень(11*3)/16;
cos(Ф) = -1/корень(33)