Сторони прямокутного трикутника 12см , 15см, і 9см . Знайти радіус вписаного кола .

Дана окружность с центром в точке О . Её радиус R=20 см .

АМ и ВМ - касательные к окружности. По свойству, они перпендикулярны радиусу R , то есть  АМ⊥ОА  и  ВМ⊥ОВ .

Дуга ВА=120°   ⇒   ∠АОВ=120°  ,как центральный угол, опирающийся на дугу ВА .

ОМ - биссектриса ∠АОВ  ( по свойству )   ⇒   ∠АОМ=∠ВОМ=120°:2=60°

ΔАОМ - прямоугольный и ∠АМО=180°-90°-60°=30° .

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы   ⇒   ОА=1/2*ОМ   ⇒  

ОМ=2*ОА=2*20=40 см - это расстояние от точки М до центра окружности .

Точка L лежит на окружности с центром D радиусом CD (DL=CD, ГМТ удаленных от данной точки на радиус).

Точка L лежит на окружности с центром A диаметром BK (BLK=90, ГМТ из которых диаметр виден под прямым углом).

Окружности пересекаются в точках L1 и L2.

1) △AL1D - равносторонний (радиусы окружностей равны стороне квадрата), L1AD=60

BAL1 =90-60 =30

AKL1 =BKL1 =BAL1/2 =15° (вписанный равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу)

2) Точки L1 и L2 симметричны относительно AD (по построению) => ∠BKL2=∠KBL1

AKL2 =KBL1 =90-BKL1 =90-15 =75°