Стороны ав, вс и ас треугольника авс равны соответственно 5, 4, 6. точка d делит отрезок вс в отношении 2: 3, считая от вершины в, отрезок аd пересекает биссектрису ск треугольника авс в точке м, а прямая вм пересекает сторону ас в точке f. найдите площадь треугольника всf.
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
в) c_a= a *sinA = 8*√3/2 =4√3
b= a *ctgA = 8*√3/3
c_b= b *cosA = 8*√3/3 *1/2 =4√3/3
г) a= c *sinA =6*1/2 =3
c_a= a *sinA =3*1/2 =3/2
b= c *cosA =6*√3/2 =3√3
c_b = b *cosA =3√3 *√3/2 =9/2
Или
Высота из прямого угла делит гипотенузу отрезки, которые относятся как квадраты прилежащих катетов. В треугольнике с углами 30, 60, 90 стороны относятся как 1:√3:2.
в) a=8: b=8/√3, c=16/√3
c_a/c_b =(a/b)^2 =3/1
c_a =16/√3 *3/4 =4√3
c_b =16/√3 *1/4 =4√3/3
г) с=6: a=3, b=3√3
c_a/c_b =(a/b)^2 =1/3
c_a =6 *1/4 =3/2
c_b =6 *3/4 =9/2