Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 и 10, а высота пирамиды равна 4. Найдите площадь сечения, проходящего через боковые рёбра, не принадлежащие одной грани.
Прямая а параллельна прямой b. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Проведем плоскость γ через прямые а и b.
Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым.
Предположим, что прямая b не лежит в плоскости β. Тогда плоскость γ пересекает плоскость α по прямой а (так как прямая а лежит в обеих плоскостях), а плоскость β по прямой с. Тогда с║а.
Так как точка В лежит на прямой b, то эта точка лежит и в плоскости γ и в плоскости β. Получается, что через точку В проведены две прямые, параллельные прямой а, а это невозможно. Значит прямая b лежит в плоскости β.
А2. ∠С = 90°, ∠B = 60°, ⇒ ∠A = 30°. CB = AB/2 = 40/2 = 20 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. По теореме Пифагора АС = √(АВ² - СВ²) = √(1600 - 400) = √1200 = 20√3 см Sabc = 1/2 · AC · BC = 1/2 · 20√3 · 20 = 200√3 см²
А3. Sabcd = AC · BD /2 = 14 · 6 / 2 = 42 см²
А4. КН = 16 см - высота трапеции. ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = CD так как трапеция равнобедренная, AD - общая, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции), ⇒ ∠CAD = ∠BDA, ⇒ AO = OD. ΔAOD равнобедренный прямоугольный, значит ОН - высота и медиана. ОН = AD/2 так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Аналогично, ОК = ВС/2. КН = КО + ОН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 = 16 см ⇒ Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = 16 ·16 = 256 см²
Вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна ее средней линии.
В1. Пусть К и М - середины оснований. Обозначим АМ = MD = a, BK = KC = b. ABKM и MKCD - трапеции, имеющие общую высоту КН = h. Sabkm = (a + b)/2 ·h Smkcd = (a + b)/2 ·h, ⇒ Sabkm = Smkcd
Прямая а параллельна прямой b. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Проведем плоскость γ через прямые а и b.
Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым.
Предположим, что прямая b не лежит в плоскости β. Тогда плоскость γ пересекает плоскость α по прямой а (так как прямая а лежит в обеих плоскостях), а плоскость β по прямой с. Тогда с║а.
Так как точка В лежит на прямой b, то эта точка лежит и в плоскости γ и в плоскости β. Получается, что через точку В проведены две прямые, параллельные прямой а, а это невозможно. Значит прямая b лежит в плоскости β.
ΔABC: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора
ВС = √(АС² - АВ²) = √(625 - 576) = √49 = 7 см
Sabcd = AB·BC = 24 · 7 = 168 cм²
А2.
∠С = 90°, ∠B = 60°, ⇒ ∠A = 30°.
CB = AB/2 = 40/2 = 20 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
По теореме Пифагора
АС = √(АВ² - СВ²) = √(1600 - 400) = √1200 = 20√3 см
Sabc = 1/2 · AC · BC = 1/2 · 20√3 · 20 = 200√3 см²
А3.
Sabcd = AC · BD /2 = 14 · 6 / 2 = 42 см²
А4.
КН = 16 см - высота трапеции.
ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = CD так как трапеция равнобедренная, AD - общая, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции), ⇒
∠CAD = ∠BDA, ⇒ AO = OD.
ΔAOD равнобедренный прямоугольный, значит ОН - высота и медиана.
ОН = AD/2 так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Аналогично, ОК = ВС/2.
КН = КО + ОН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 = 16 см ⇒
Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = 16 ·16 = 256 см²
Вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна ее средней линии.
В1. Пусть К и М - середины оснований.
Обозначим АМ = MD = a, BK = KC = b.
ABKM и MKCD - трапеции, имеющие общую высоту КН = h.
Sabkm = (a + b)/2 ·h
Smkcd = (a + b)/2 ·h, ⇒
Sabkm = Smkcd