Стороны основания треугольной пирамиды 9,10 и 17. все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. найдите объем пирамиды.

Это задача на формулы Герона для площади и радиуса вписанной окружности. Дело в том, что когда у боковых граней пирамиды одинаковый уогл наклона, то вершина пирамиды проектируется на основание в центр вписанной окружности. Показать это легко - проекция будет равноудалена от сторон основания. на расстояние, равное 

r = H*ctg(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол при основании.

Далее, стороны a = 9, b = 10, c = 17, полупериметр p = 18, сомножители в формуле Герона p = 18, p - a = 9, p - b = 8, p - c = 1; площадь основания

(Sосн)^2 = 18*9*8*1 = (36)^2; Sосн = 36; r = Sосн/p = 2;

Раз угол Ф = 45 градусов, то r = H = 2;

V = Sосн*H/3 = 36*2/3 = 24;