ть будь ласка 1. (0,5 б.) Укажіть правильне твердження:
А Через три точки завжди можна провести безліч площин
Б Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести дві різні площини
В Через довільну пряму можна провести площину і до того ж тільки одну
Г Через три точки можна провести одну або безліч площин
2. (0,5 б.) Укажіть правильне твердження:
А Через дві мимобіжні прямі можна провести площину і до того ж тільки одну
Б Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона обов’язково перетинає і другу
В Якщо пряма a паралельна площині β, а пряма b лежить у площині β, то прямі а і b мимобіжні
Г Дві прямі, які паралельні третій прямій, - паралельні між собою
3. (1 б.) Яка з наведених фігур може бути паралельною проекцією рівнобічної трапеції?
А Б В Г Д
Паралелограм Ромб Довільний трикутник Прямокутник Довільна трапеція
4. (1 б.) Користуючись зображенням куба АВСDA1B1C1D1, вкажіть паралельні площини, які проведені через мимобіжні прямі АВ і СС1.
А (АВС) i (A1D1C1)
Б (DD1C1) i (AA1B1)
B (A1B1C1) i (DD1C1)
Г (АВС) i (AA1B1)
Д (АA1D1) і (ВВ1C1)
5. (2 б.) У зображенні куба за площину проекцій взято площину АВСD, а проектуючоою прямою є пряма АA1. Установіть відповідність між геометричними фігурами та їхніми паралельними проекціями.
1 ВC1 А ВD
2 Трикутник С1О1D1 Б ВС
3 A1B1 В АС
4 ВВ1D1D Г Трикутник СОD
Д АВ
6. (2 б.) Відрізок АВ та площина α паралельні між собою. Через кінці відрізка АВ проведено паралельні прямі. Пряма, що проходить через точку В перетинає площину α в точці В1. Пряма, що проходить через точку А перетинає площину α в точці А1. 1) Доведіть, що чотирикутник АВВ1А1 є паралелограмом. 2) Обчислити периметр паралелограма АВВ1А1, якщо АВ – ВВ1=5см; АВ:ВВ1=7:2.
7. (2 б.) Промінь КМ перетинає паралельні площини α і β в точках М1 і М2, а промінь КР – в точках Р1 і Р2 відповідно. Відомо, що М1Р1: М2: Р2=2:3. Обчисліть довжину відрізка М1М2, якщо КМ1 = 8см.
8. (3б)Через точки В1 і В2, сторони АВ рівностороннього трикутника АВС проведено площини α і β, які паралельні прямій ВС. Обчисліть периметри фігур, на які розбивають цей трикутник дані площини, якщо АВ1= В1В2= В2В та АС=12см.
Дан параллельный вектор e¯¯¯={1,−6,−4}.
Для уравнения плоскости нужен нормальный (то есть перпендикулярный) вектор.
Их произведение (скалярное) равно нулю.
Примем одну координату за 0 - по оси Oz.
Получим нормальный вектор (6; 1; 0)
В уравнение плоскости подставим координаты точки М0:
6*(x - 7) + 1*(y - 2) + 0*(z - 9) = 0.
6x - 42 + y - 2 = 0, получаем уравнение:
6x + y - 42 = 0.
Делаем проверку - подставляем координаты точки M1(7,3,10).
6*7 + 3 - 42 = 3. Не проходит плоскость через эту точку.
Тогда нормальный вектор находим как векторное произведение векторов М0М1 и e¯¯¯={1,−6,−4}.
Вектор М0М1 = M1(7,3,10) - M0(7,2,9) = (0; 1; 1)
i j k| i j
0 1 1| 0 1
1 -6 -4| 1 -6 = -4i + 1j + 0k -0j + 6i - 1k = 2i + 1j - 1k.
Получаем координаты нормального вектора (2; 1; -1) и точку M0(7,2,9).
Уравнение плоскости: 2(x - 7) + 1(y - 2) - 1(z - 9) = 0.
2x - 14 + y - 2 - z + 9 = 0.
2x + y - z - 7 = 0.
Проверяем М0: 2*7 + 1*2 - 1*9 - 7 = 14 + 2 - 9 - 7 = 0,
M1(7,3,10): 2*7 + 1*3 -1*10 - 7 = 14 + 3 - 10 - 7 = 0.
Верно.
ответ: уравнение плоскости 2x + y - z - 7 = 0.
3.
<B = 60° => <HCB = 90-60 = 30° .
Теорема 30-градусного угла прямоугольного треугольника такова: сторона, противолежащая 30-и градусам в прямоугольном треугольнике — равен половине гипотенузы, тоесть: HB = 4 => BC = 4*2 = 8.
<B = 60° => <A = 90-60 = 30°.
По той же теореме следует это: BC = 8 => AB = 8*2 = 16.
HB = 4 => AH = 16-4 = 12.
Вывод: AH = 12.
4.
<OAB & <CDO — пара накрест лежащих углов, так ка прямые параллельны, то накрест лежащие углы друг другу равны, тоесть: <CDO = 47°.
<AOB = 90° => <COD = 90° (так как вертикальные углы).
<COD = 90°; <CDO = 47° => <DCO = 90-47 = 43°.
Вывод: <CDO = 47°; <DCO = 43°; <COD = 90°.
5.
Тема: Равенство треугольников.
По какому-то там признаку (не помню номер) — если 3 угла из каждого треугольника равны, то треугольники также друг другу равны.
Определим же эти углы: Так как прямыеу паралелльны, то накрест лежащие углы равны, тоесть: <ODB == <ACO. Нашл первую пару равных углов!
Вторая пара накрест лежащих друг другу равных углов: <CAO; <OBD.
Вторую пару то определили.
Так как <AOC = 90°, то его вертикальный угол — <DOB — также равен 90 градусам.
Доказали, что в двух треугольниках имеется 3 определения углов, что и означает, что треугольники равны.
И так как треугольники равны, то OB == AO; DO == OC.
Так как треугольники имеют 2 общей стороны, то против вертикальных прямых углов — лежат другу другу равные стороны — DB; AC.
6.
<A = 60° => <C = 30°.
По теореме 30-грдусного угла — катет AB — равен половине гипотенузы AC.
BM — медиана, потому что делит гипотенуз пополам, и также медиана прямоугольного треугольника, проведёнаня к гипотенузе — равна её половине, тоесть: BM == MC == AM = AC/2 = 5 => AC = 5*2 = 10.
BM == MC => <MBE == <MCE = 30° (<C = 30°).
<EMC = 90°; <C = 30° => <ME = MC/2 = 5/2 = 2.5.
Вывод: ME = 2.5.