Task 1. Read the article and answer the questions based on the reading passage. Don't forget to go back to the passage whenever necessary to find or confirm your answer
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Cледовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому PQ = AC·sin∠BCD. Aналогично, RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.
CosA = 4/√42 ≈ 0,617.
CosB = 2/√30 ≈ 0,365.
CosC = 3/√35 ≈ 0,51.
Объяснение:
Если надо найти КОСИНУСЫ углов, то решение:
CosA = (Xab·Xac+Yab·Yac+Zab·Zac)/(|AB|·|AC|). (формула).
Координаты вектора AB = (0-2;1-(-1);3-1) = (-2;2;2).
Модуль АВ равен |AB| =√((-2)²+2²+2²) = 2√3.
Координаты вектора AC = (-1-2;1-(-1);0-1) = (-3;2;-1).
Модуль АC равен |AC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √14.
CosA =(6+4-2)/(√(12·14) = 8/(2√42) = 4/√42 ≈ 0,617.
∠A ≈ 52°
Аналогично:
CosВ = (Xba·Xbc+Yba·Ybc+Zba·Zbc)/(|BA|·|BC|).
Координаты вектора BA = (2-0;-1-1);1-3) = (2;-2;-2).
Модуль ВA равен |BA| = 2√3.
Координаты вектора BC =(-1-0;1-1);0-3) = (-1;0;-3).
Модуль BC равен |BC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √10.
CosB =(-2+0+6)/(√(12·10) = 4/(2√30) = 2/√30 ≈ 0,365.
∠B ≈ 69° .
CosC = (Xca·Xcb+Yca·Ycb+Zca·Zcb)/(|CA|·|CB|).
Координаты вектора CA = (-1-2;1-(-1);0-3) = (3;-2;1).
Модуль CA равен |CA| = √14.
Координаты вектора CB =(0-(-1);1-1);3-0) = (1;0;3).
Модуль BC равен |CB| =√(1²+0²+3)²) = √10.
CosC =(3+0+3)/(√(14·10) = 6/(2√35) = 3/√35 ≈ 0,51.
∠C ≈ 59°.
Проверка: ∠А +∠В +∠С = 52° + 69° +59° = 180°.
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Cледовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому
PQ = AC·sin∠BCD. Aналогично, RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что
Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.