Тест по теме: «Вписанная и описанная окружности» (8 класс)
2 вариант
1. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется .
2. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется .
3. В четырехугольник можно вписать окружность, если .
4. В любой треугольник можно .
5. В любом описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон: а) равны; б) равны радиусу; в) равны периметру.
6. Вписанная в треугольник окружность изображена на рисунке:
7. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:
8. Около треугольника можно описать .
9. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 76. Найдите длину её средней линии.
10. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 100°. Найдите угол C этого четырехугольника. ответ дайте в градусах.
Точно так же легко показать, что BMC равнобедренный треугольник, и BC = CM = MD = b;
считаем, что a > b и заданный МЕНЬШИЙ угол при основании - это угол DAB; (это взаимосвязанные утверждения, потом невозможность другого выбора будет видна из треугольника AEB, в котором из b < a следует ЕВ < AE; а значить и угол напротив меньше)
Периметр равен 3*(a + b) = 30; поэтому a + b = 10;
Если продлить AD, BC и KM до пересечения в точке Е (все три прямые пересекутся в одной точке, и KЕ - медиана АВЕ и подобного ему треугольника CDE), и обозначить DE = y; CE = x; то из подобия EDM и EAK следует
y/b = (y + a)/a;
Аналогично из подобия EMC и EKB
x/b = (x + b)/a;
Кроме того, очевидно и то ,что y/x = a/b; (это НЕ независимое соотношение)
Получается y = a*b/(a - b); x = b^2/(a - b);
Третья сторона треугольника EDC равна 2*b, а косинус угла EDC равен 3/4;
Если применить теорему косинусов, то
x^2 = y^2 + (2*b)^2 - 2*(2*b)*y*(3/4);
или
(b^2/(a - b))^2 = (a*b)^2/(a - b)^2 + 4*b^2 - 3*a*b^2/(a - b);
b^4 = a^2*(a - b)^2 + 4*b^2*(a - b)^2 - 3*a*b^2*(a - b);
(a^2 - b^2) + 4*(a - b)^2 - 3*a*(b - a) = 0;
a + b + 4*a - 4*b - 3*a = 0;
2*a = 3*b;
поскольку a + b = 10; то a = 6; b = 4;
Трапеция имеет боковые стороны 4 и 6 и основания 12 и 8.
Если провести теперь DQ II MK, то QK = DM = 4, AK = 6; то есть AQ = 2;
отсюда DQ^2 = 6^2 + 2^2 - 2*6*2*(3/4) = 22; ясно, что DQ = KM; поэтому
KM = √22;
Пусть N лежит на АР так, что MN II BC.
Тогда треугольники ВКР и MNK равны, поскольку у них равны все углы и ВК = КМ.
Поэтому NK = KP, а поскольку NP = AP/2, то КР = АР/4;
Далее, MN = PC/2; но ВР = MN; поэтому ВР = РС/2 = ВС/3;
Теперь применяется (в массовом порядке :) ) известное свойство - если у треугольников высоты к каким-то сторонам равны, то площади относятся, как длины этих сторон.
Если обозначить S площадь АВС, то площадь АРС равна S*2/3;
Площадь АВМ равна S/2; а площадь АКМ (и - между прочим - площадь АВК) равна половине площади АВМ, то есть S/4;
Окончательно, площадь KPCM равна S*2/3 - S/4 = S*5/12; а искомое отношение равно (S/4)/(S*5/12) = 3/5;