Точка a находится на расстоянии 9 см от плоскости α. наклонные ab и ac образуют с плоскостью α углы 45° и 60° соответственно. найдите расстояние между точками c и b, если угол между проекциями наклонных равна 150°.
Расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости. AD перпендикулярна alpha, следовательно, AD перпендикулярна любойпрямой, лежащей в плоскости alpha. Получаем два прямоугольных треугольника - ADB и ADC. BD - проекция наклонной AB на плоскость alpha. Аналогично, DC - проекция прямойAC на плоскость alpha.
/_ABD=45, /_ACD=60
Угол между проекциями наклонных - угол между прямыми BD и DC. /_BDC=150 (поусловию). Треугольник ADB: /_ABD=45. По теореме о сумме углов треугольника получаем/_BAD=45
Треугольник ADB - равнобедренный прямоугольный. BD = AD = 9 см.
Расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости. AD перпендикулярна alpha, следовательно, AD перпендикулярна любойпрямой, лежащей в плоскости alpha. Получаем два прямоугольных треугольника - ADB и ADC. BD - проекция наклонной AB на плоскость alpha. Аналогично, DC - проекция прямойAC на плоскость alpha.
/_ABD=45, /_ACD=60
Угол между проекциями наклонных - угол между прямыми BD и DC. /_BDC=150 (поусловию). Треугольник ADB: /_ABD=45. По теореме о сумме углов треугольника получаем/_BAD=45
Треугольник ADB - равнобедренный прямоугольный. BD = AD = 9 см.
Рассмотрим треугольник АDC . Угол АСD=60, значит, угол DAC=30. По теореме синусов находим DC.
9/sin 60 = DC/sin30; DC=9*0,5/√3/2; DC=3√3.
BC находим по теореме косинусов BC^2=BD^2+DC^2-2*BD*DC*cosBDC.
ВС^2=81+27-54√3*(-1/2√3)=189; ВС=√189=13,75.
ответ: 13,75 см.