Точка D — середина сторони AC трикутника ABC, відрізки DE і DF — бісектриси відповідно трикутників ABD і CBD. Відрізки BD і EFперетинаються в точці M. Доведіть, що DM = EF.

Дано :
AB = 12 ;  * * *  3*4  * * *
AC = 15 ; * * *   3*4 * * *
BC = 18 . * * *   3*6 * * *
∠BAL = ∠ CAL  (BL биссектриса  ∠A ,    L ∈  BC  ) .

AL  - ? 

большой угол это ∠A (против большей стороны лежит большой угол) .
Используем свойство биссектрисы треугольника  ( биссектриса  треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам ) :
BL / CL =AB / AC   ⇔ BL / CL =4 / 5 ;   BL=4k ;  CL= 5 k   ⇒
BL +CL= BC⇔9k =18  ⇒k =2  . BL=4k  =8 ;  CL =5 k =10 . 
Известно :
AL²  =AB *  AC - BL *CL ⇔AL²  =12*15 - 8*10 =100 ⇒ AL =10.

ответ  :  10 .

Сторона правильного n-угольника равна a = 2Rsin(180°/n), откуда R = a/2sin(180°/n)
Радиус вписанной окружности равен r = Rcos(180°/n), откуда R = r/cos(180°/n). Приравняем эти два равенства:
a/2sin(180°/n) = r/cos(180°/n)
10/2sin(180°/n) = √3/(cos/180°/n)
5/sin(180°/n) = 5√3(cos180°/n)
5sin(180°/n) = 5√3cos(180°/n)
sin(180°/n) = √3cos(180°/n)
Это равенства выполняется тогда, когда cosA = 1/2, sinA = √3/2. Тогда угол правильного многоугольника равен 60° => данный многоугольник - треугольник.
Центральный угол будет равен 1/3•360° = 120° (т.к. отрезки, соединяющие центр описанной окружности с вершинами, будут равны и образовывать равные между собой углы).
Радиус описанной окружности тогда равен R = 10/2•√3/2 = 10√3 см.
ответ: R = 10√3 см, центральный угол = 120°.