Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его боковую сторону на отрезки с длинами 7 и 8. Найдите косинус угла при основании этого треугольника.
Для нахождения площади этого треугольника можно применить две формулы: 1)S=a•h:2, где а - сторона, h- высота, которая к ней проведена. Пусть ∠А=30° Тогда высота ВН, как катет прямоугольного треугольника ВНА, противолежащий этому углу, равна половине АВ. ВН=4,5⇒ S=12•4,5:2=27 см² или, если провести высоту СН1 к стороне АВ ( тогда она пересечется с продолжением АВ) СН1=АС:2=6 S=AB•CH1:2=9•6:2=27см² –––––––––– 2) S= 0,5•a•b•sinα, где a и b - стороны треугольника. α- угол между ними S (ABC)=0,5•AB•AC•sin30º S=0,5•9•12=27см²
1)S=a•h:2, где а - сторона, h- высота, которая к ней проведена.
Пусть ∠А=30°
Тогда высота ВН, как катет прямоугольного треугольника ВНА, противолежащий этому углу, равна половине АВ.
ВН=4,5⇒
S=12•4,5:2=27 см²
или,
если провести высоту СН1 к стороне АВ ( тогда она пересечется с продолжением АВ)
СН1=АС:2=6
S=AB•CH1:2=9•6:2=27см²
––––––––––
2) S= 0,5•a•b•sinα, где a и b - стороны треугольника. α- угол между ними
S (ABC)=0,5•AB•AC•sin30º
S=0,5•9•12=27см²
По теореме косинусов:
АВ²=АС²+ВС²-2АС*ВС*cos C=AC²+50²-2*AC*50*0,6=AC²+2500-60AC.
3364=AC²+2500-60AC;
AC²-60AC-864=0.
D=3600+3456=7056=84².
Третья сторона AC=(60+84)/2=72.
Также по теореме косинусов найдем
ВС²=АВ²+АС²-2АВ*АС*соs A=58²+72²-2*58*72*cos A=3364+5184-8352*cos A=8548-8352cos A,
отсюда cos A= (8548-2500)/8352=6048/8352=21/29=0,724.
Aналогично АС²=АВ²+ВС²-2АВ*ВС*соs B=58²+50²-2*58*50*cos B=3364+2500-5800*cos B=5864-5800*cos B,
отсюда соs B=(5864-5184)/5800=680/5800=17/145=0,117.
ответ: 72 см, соs B=0,117, cos A=0,724.