Точка m и n - середины рёбер соответственно ab и cd треугольной пирамиды abcd, o - точка пересечения медиан грани abc. а) докажите, что прямая do проходит через середину отрезка mn. б) найдите угол между прямыми mn и bc, если abcd - правильный тетраэдр.

а) Доказательство, что AM — биссектриса угла BAC, вытекает из равенства соответствующих углов при параллельных прямых и секущей.

б) Найдите площадь трапеции AMBD , если площадь треугольника ABC
равна 216 и известно отношение AC:AB=5:4.
Биссектриса АМ делит треугольник АВС на части, пропорциональные отрезкам ВМ и МС, которые в свою очередь пропорциональны сторонам АВ  и АС по свойству биссектрисы.
S(АМС) = (216*5)/9 = 24*5 = 120 кв.ед.
∆ AMC подобен ∆CBD с коэффициентом подобия  k=AC:DC=5:9.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия - k²=25/81.
 S AMC:S BDC = 25/81, откуда S BDC =120•81:25 = 388,8.
Тогда S AMBD = S∆BCD - S∆AMC = 268,8.

3)Дано равнобедренный ΔАВС (АВ = ВС), BD - высота, АС = 2BD. 
Найдем углы ΔАВС. 
Пусть BD = х, тогда АС = 2х. Поскольку провели высоту BD к основанию, то 
BD - медиана (AD = DC = 2х 2 = х) и биссектриса. 
ΔBDC - прямоугольный (∟BDC = 90 °) и равнобедренный (BD = DC), 
тогда ∟DBC = ∟DCB = 90 °: 2 = 45 °. 
∟ABD = ∟CBD = 45 °. ∟B = ∟ABD + ∟CBD = 90 °. 
∟C = ∟A = 45 ° (как углы при ocнови равнобедренного треугольника). 
 ∟A = 45 °, ∟C = 45 °, ∟B = 90 °
2) треугольники ОАМ и ОВN равны по двум сторонам (радиусы ОМ=ОА=ОВ=ON) и углу между ними. ТОгда углы АМО и ONB равны, из чего следует параллельность хорд.  не помню, углы называются накрест лежащими